Seja
um operador linear. Calcule a dimensão de
e os possíveis polinômios minimais de
.
.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear
cujo polinômio característico é
Estamos em teoria de espaços vetoriais e operadores lineares: a dimensão de
é o grau de
e o polinômio minimal de
é um divisor de
que contém exatamente os mesmos fatores irredutíveis, cada um com expoente entre 1 e sua multiplicidade em
.
Passo 2
O grau de
é a soma das multiplicidades dos fatores lineares. Assim,
Passo 3
O polinômio minimal
deve dividir
e ter os mesmos três fatores
,
e
, cada um com expoente pelo menos
e no máximo igual à sua multiplicidade em
.
Passo 4
Logo, o polinômio minimal geral é
onde
Há, portanto,
escolhas possíveis para
.
Resposta
dimensão de
é
.
Os possíveis polinômios minimais são
Os possíveis polinômios minimais são
com
,
e
, totalizando 12 casos.