Seja T: V V um operador linear. Calcule a dimensão de V e os possíveis polinômios minimais de T.
pT(x)=(x-3)^2(x-2)^2(x+2)^3.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear Tcolon Vto V cujo polinômio característico é
pT(x) = (x-3)^2(x-2)^2(x+2)^3
Estamos em teoria de espaços vetoriais e operadores lineares: a dimensão de V é o grau de pT e o polinômio minimal de T é um divisor de pT que contém exatamente os mesmos fatores irredutíveis, cada um com expoente entre 1 e sua multiplicidade em pT.

Passo 2

O grau de pT é a soma das multiplicidades dos fatores lineares. Assim,
dim(V) = 2 + 2 + 3 = 7

Passo 3

O polinômio minimal mT(x) deve dividir pT(x) e ter os mesmos três fatores (x-3), (x-2) e (x+2), cada um com expoente pelo menos 1 e no máximo igual à sua multiplicidade em pT.

Passo 4

Logo, o polinômio minimal geral é
mT(x) = (x-3)^a,(x-2)^b,(x+2)^c,
onde
1 <= a <= 2, 1 <= b <= 2, 1 <= c <= 3
Há, portanto, 2times2times3 = 12 escolhas possíveis para (a,b,c).

Resposta

dimensão de V é 7.
Os possíveis polinômios minimais são
(x-3)^a(x-2)^b(x+2)^c
com 1<= a<=2, 1<= b<=2 e 1<= c<=3, totalizando 12 casos.

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