Consideremos um espaço vetorial V e um operador linear T: V V, com as propriedades dadas abaixo.
pT(x)=(x-2)^4(x+7)^2, mT(x)=(x-2)^2(x+7)^2 e mg(2)=2.
Determine a dimensão de cada autoespaço generalizado.

Passo 1

O enunciado fornece para o operador linear Tcolon Vto V:
– polinômio característico
pT(x)=(x-2)^4(x+7)^2,
– polinômio minimal
mT(x)=(x-2)^2(x+7)^2,
– multiplicidade geométrica em lambda=2, mg(2)=2.
Queremos as dimensões dos autoespaços generalizados
kerl(T-2Ir)^k e kerl(T+7Ir)^k para k igual ao expoente em mT.

Passo 2

Extraímos as multiplicidades algébricas e os expoentes da minimal:
– Para lambda=2: mult.\ algébrica a2=4, expoente em mT é 2.
– Para lambda=-7: mult.\ algébrica a-7=2, expoente em mT é 2.

Passo 3

Determinamos a estrutura de Jordan em cada valor próprio:
– Em lambda=2 temos a2=4 e mg(2)=2, logo há 2 blocos de Jordan cuja soma de tamanhos é 4 e o maior bloco tem tamanho 2. A única possibilidade é dois blocos de tamanho 2.
– Em lambda=-7 temos a-7=2 e o maior bloco de Jordan tem tamanho 2 (do expoente em mT), logo há exatamente um bloco de tamanho 2, o que dá mg(-7)=1.

Passo 4

As dimensões dos autoespaços generalizados vêm do somatório dos tamanhos dos blocos até a ordem k:
Para lambda=2
kerl(T-2Ir)^1 tem dimensão igual ao número de blocos = mg(2)=2.
kerl(T-2Ir)^2 engloba todos os vetores dos dois blocos de tamanho 2, portanto
diml(kerl(T-2Ir)^2r)=2+2=4
Para lambda=-7
kerl(T+7Ir)^1 tem dimensão igual ao número de blocos = mg(-7)=1.
kerl(T+7Ir)^2 engloba todo o bloco de tamanho 2, logo
diml(kerl(T+7Ir)^2r)=2

Resposta

Para lambda=2:
dimkerl(T-2Ir)=2, dimkerl(T-2Ir)^2=4
Para lambda=-7:
dimkerl(T+7Ir)=1, dimkerl(T+7Ir)^2=2

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