Consideremos um espaço vetorial
e um operador linear
, com as propriedades dadas abaixo.
e
.
Determine a dimensão de cada autoespaço generalizado.
Determine a dimensão de cada autoespaço generalizado.
Passo 1
O enunciado fornece para o operador linear
:
– polinômio característico
– polinômio característico
– polinômio minimal
– multiplicidade geométrica em
,
.
Queremos as dimensões dos autoespaços generalizados
e
para
igual ao expoente em
.
Queremos as dimensões dos autoespaços generalizados
Passo 2
Extraímos as multiplicidades algébricas e os expoentes da minimal:
– Para : mult.\ algébrica
, expoente em
é
.
– Para : mult.\ algébrica
, expoente em
é
.
– Para
– Para
Passo 3
Determinamos a estrutura de Jordan em cada valor próprio:
– Em temos
e
, logo há
blocos de Jordan cuja soma de tamanhos é
e o maior bloco tem tamanho
. A única possibilidade é dois blocos de tamanho
.
– Em temos
e o maior bloco de Jordan tem tamanho
(do expoente em
), logo há exatamente um bloco de tamanho
, o que dá
.
– Em
– Em
Passo 4
As dimensões dos autoespaços generalizados vêm do somatório dos tamanhos dos blocos até a ordem
:
Para
tem dimensão igual ao número de blocos
.
engloba todos os vetores dos dois blocos de tamanho
, portanto
Para
Para
tem dimensão igual ao número de blocos
.
engloba todo o bloco de tamanho
, logo
Resposta
Para
:
Para
: