6 Seja T: R^3 R^3 um operador linear cuja matriz na base canônica de R^3 é [T]=(ccc-9 & 4 & 4 -8 & 3 & 4 -16 & 8 & 7). Verifique que T é diagonalizável. Encontre matrizes P invertível e D diagonal, tais que P[T] P^-1=D.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:R^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
[T]= -9 & 4 & 4 -8 & 3 & 4 -16& 8 & 7 ,
e pede para verificar que T é diagonalizável e encontrar uma matriz invertível P e uma diagonal D tais que
P,[T],P^-1=D
O conteúdo aqui é diagonalização de operador linear: vamos calcular valores e vetores próprios, verificar que a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica e montar P e D.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico de [T]. Seja lambda variável, então
detl([T]-lambda Ir) =det -9-lambda & 4 & 4 -8 & 3-lambda & 4 -16& 8 & 7-lambda
Expandindo, obtém-se
-lambda^3+lambda^2+5lambda+3=0 Long<=ftrightarrow lambda^3-lambda^2-5lambda-3=0
Testando raízes inteiras, vemos que lambda=-1 é raiz dupla e lambda=3 é simples. Logo os autovalores são
lambda1=-1(mu<iplicidade 2), lambda2=3(mu<iplicidade 1)

Passo 3

Para cada autovalor, achamos o autovetor resolvendo [\bigl([T]-\lambda I\bigr)v=0).
  1. :
da segunda equação . Um autovetor é
  1. :
Há duas variáveis livres, por exemplo e . Escolhendo pares que dêem inteiro, tomamos
O espaço próprio para tem dimensão 2, igual à multiplicidade algébrica, logo é diagonalizável.

Passo 4

Escolhendo como colunas de P os autovetores na ordem lambda=-1,-1,3, temos
P= 1 & 1 & 1 2 & 0 & 1 0 & 2 & 2 ,
e a matriz diagonal dos autovalores correspondente é
D= -1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 3
Por construção,
P^-1,[T],P=D,
ou equivalentemente
P,[T],P^-1=D

Resposta

P= 1 & 1 & 1 2 & 0 & 1 0 & 2 & 2 , D= -1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 3

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