5 Seja
um operador linear. O operador complexificado de
é definido como:
, onde
e
. Mostre que:
(a)
é linear;
(b)
;
(c)
;
(d) Se
é autovalor de
, então
também é autovalor de
;
(e) Se
, então
não é diagonalizável, mas
é diagonalizável;
(f)
.
(a)
(b)
(c)
(d) Se
(e) Se
(f)
Passo 1
O enunciado define o operador complexificado de
por
e pede para mostrar:
(a) que é linear;
(b) seu núcleo;
(c) sua imagem;
(d) que todo autovalor real de é autovalor de
;
(e) no caso de em
,
não ser diagonalizável mas
sim;
(f) que .
(a) que
(b) seu núcleo;
(c) sua imagem;
(d) que todo autovalor real de
(e) no caso de
(f) que
Passo 2
Provar linearidade de
. Dados
e
em
e
, temos
e
Logo,
é linear.
Passo 3
Caracterizar
. Dizemos
se e só se
Isto implica
e
, ou seja
. Assim
Passo 4
Caracterizar
. Um vetor
está na imagem se existem
tais que
Escrevendo
com
, é necessário e suficiente que
e
, ou seja
. Portanto
Passo 5
Mostrar que se
é autovalor de
, então é autovalor de
. Se existe
em
com
então em
temos
logo
é autovetor de
com autovalor
.
Passo 6
Caso
em
. O polinômio característico em
é
cujas raízes
não são reais, logo
não tem autovalores reais nem autovetores reais e não é diagonalizável sobre
.
Em , os autovalores são
e
, com autovetores por exemplo
Em
de modo que
admite base de autovetores e por isto é diagonalizável sobre
.
Passo 7
Verificar
. Para
,
Resposta
(a)
é linear.
(b)
(c)
(d) Todo autovalor de
também é autovalor de
.
(e) Para ,
não é diagonalizável sobre
mas
é diagonalizável sobre
.
(f) .
(b)
(c)
(d) Todo
(e) Para
(f)