5 Seja T: R^n R^n um operador linear. O operador complexificado de T é definido como: TC: C^n C^n, TC(u+i v)=T(u)+i T(v), onde u, v in R^n e u+i v in C^n. Mostre que:
(a) TC: C^n C^n é linear;
(b) ker(TC)=u+i v in C^n: u, v in ker(T);
(c) Im(TC)=u+i v in C^n: u, v in Im(T);
(d) Se lambda in R é autovalor de T, então lambda também é autovalor de TC;
(e) Se T: R^2 R^2, T(x, y)=(-y, x), então T não é diagonalizável, mas TC é diagonalizável;
(f) TC^2=(T^2)C.

Passo 1

O enunciado define o operador complexificado de TcolonR^ntoR^n por
TC(u+i v)=T(u)+i,T(v),
e pede para mostrar:
(a) que TC é linear;
(b) seu núcleo;
(c) sua imagem;
(d) que todo autovalor real de T é autovalor de TC;
(e) no caso de T(x,y)=(-y,x) em R^2, T não ser diagonalizável mas TC sim;
(f) que TC^2=(T^2)C.

Passo 2

Provar linearidade de TC. Dados z1=u1+i v1 e z2=u2+i v2 em C^n e c=a+ibinC, temos
TC(z1+z2) =TCl((u1+u2)+i(v1+v2)r) =T(u1+u2)+i,T(v1+v2)
=T(u1)+T(u2)+il(T(v1)+T(v2)r) =TC(z1)+TC(z2),
e
TC(c,z1) =TCl((a u1-b v1)+i(a v1+b u1)r) =T(a u1-b v1)+i,T(a v1+b u1)
=a,T(u1)-b,T(v1)+il(a,T(v1)+b,T(u1)r) =(a+ib)l(T(u1)+i,T(v1)r) =c,TC(z1)
Logo, TC é linear.

Passo 3

Caracterizar ker(TC). Dizemos u+i vinker(TC) se e só se
TC(u+i v)=T(u)+i,T(v)=0+i,0
Isto implica T(u)=0 e T(v)=0, ou seja u,vinker(T). Assim
ker(TC) =,u+i vinC^n:u,vinker(T),

Passo 4

Caracterizar Im(TC). Um vetor winC^n está na imagem se existem u,vinR^n tais que
TC(u+i v)=T(u)+i,T(v)=w
Escrevendo w=s+i t com s,tinR^n, é necessário e suficiente que s=T(u) e t=T(v), ou seja s,tinIm(T). Portanto
Im(TC) =,s+i tinC^n:s,tinIm(T),

Passo 5

Mostrar que se lambdainR é autovalor de T, então é autovalor de TC. Se existe uneq0 em R^n com
T(u)=lambda,u,
então em C^n temos
TC(u)=T(u)+i,T(0)=lambda,u+ icdot0=lambda,u,
logo u é autovetor de TC com autovalor lambda.

Passo 6

Caso T(x,y)=(-y,x) em R^2. O polinômio característico em R é
det-lambda&-11&-lambda =lambda^2+1,
cujas raízes pm i não são reais, logo T não tem autovalores reais nem autovetores reais e não é diagonalizável sobre R.
Em C^2, os autovalores são lambda1=i e lambda2=-i, com autovetores por exemplo
v1=(1,-,i), v2=(1,i),
de modo que TC admite base de autovetores e por isto é diagonalizável sobre C.

Passo 7

Verificar TC^2=(T^2)C. Para u+i vinC^n,
TC^2(u+i v) =TCl(T(u)+i,T(v)r) =Tl(T(u)r)+i,Tl(T(v)r) =T^2(u)+i,T^2(v) =(T^2)C(u+i v)

Resposta

(a) TC é linear.
(b) ker(TC)=u+i v:u,vinker(T)
(c) Im(TC)=s+i t:s,tinIm(T)
(d) Todo lambdainR autovalor de T também é autovalor de TC.
(e) Para T(x,y)=(-y,x), T não é diagonalizável sobre R mas TC é diagonalizável sobre C.
(f) TC^2=(T^2)C.

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