Sejam A e B matrizes equivalentes por linhas.
(a) Mostre que a dimensão do espaço coluna de
é igual a dimensão do espaço coluna de
.
Mostre que a dimensão do espaço coluna de
é igual a dimensão do espaço coluna de
.
(a) Mostre que a dimensão do espaço coluna de
Mostre que a dimensão do espaço coluna de
Passo 1
O enunciado diz que
e
são matrizes equivalentes por linhas, ou seja, existe uma sequência de operações elementares de linha que leva
em
. O objetivo é provar que
onde
denota o espaço coluna da matriz
. Vamos usar o fato de que operações de linha correspondem a multiplicar por uma matriz invertível à esquerda.
Passo 2
Como
e
são equivalentes por linhas, existem operações elementares de linha
tais que
Denotando por
, obtemos
Passo 3
Pela definição de espaço coluna,
Como
é uma transformação linear invertível de
em si, a restrição
é bijetiva e linear. Logo ela preserva dimensão.
Passo 4
Pelo argumento de bijeção linear entre
e
, concluímos que