Sejam A e B matrizes equivalentes por linhas.
(a) Mostre que a dimensão do espaço coluna de A é igual a dimensão do espaço coluna de B.
Mostre que a dimensão do espaço coluna de A é igual a dimensão do espaço coluna de B.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes equivalentes por linhas, ou seja, existe uma sequência de operações elementares de linha que leva A em B. O objetivo é provar que
diml(Col(A)r);=;diml(Col(B)r),
onde Col(M) denota o espaço coluna da matriz M. Vamos usar o fato de que operações de linha correspondem a multiplicar por uma matriz invertível à esquerda.

Passo 2

Como A e B são equivalentes por linhas, existem operações elementares de linha E1,E2,dots,Ek tais que
B ;=; Ek,cdots,E2,E1;A
Denotando por E=Ekcdots E1, obtemos
B ;=; E,A com (E) invertível í

Passo 3

Pela definição de espaço coluna,
Col(B) =,B,xmid xinR^n =,E,A,xmid xinR^n =,E,ymid yinCol(A) =El(Col(A)r)
Como E é uma transformação linear invertível de R^m em si, a restrição
Ecolon Col(A);longrightarrow;Col(B)
é bijetiva e linear. Logo ela preserva dimensão.

Passo 4

Pelo argumento de bijeção linear entre Col(A) e Col(B), concluímos que
diml(Col(A)r) =diml(Col(B)r)

Resposta

dim(Col(A)) = dim(Col(B)).

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