Calcule a dimensão de cada um dos subespaços vetoriais de V=M2(K) A in V / A^t=A Passo 1O enunciado pede a dimensão do subespaço S=Ain M2(K)mid A^t=A. Aqui V=M2(K) tem dimensão 4, e S é o conjunto das matrizes simétricas 2times2. Vamos achar uma base de S para medir sua dimensão. Passo 2Seja A= a & b c & d in M2(K) A condição A^t=A implica c=b, ou seja, toda matriz simétrica tem a forma a & b b & d , com a,b,din K. Passo 3Podemos escrever a & b b & d = a 1 & 0 0 & 0 + b 0 & 1 1 & 0 + d 0 & 0 0 & 1 Logo as matrizes E11=1&00&0, E12+E21=0&11&0, E22=0&00&1 formam uma base de S. Passo 4Como a base de S tem 3 vetores, concluímos que dim S = 3 Resposta 3 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados4 Sejam T: R^2 R^2 linear e B=u, v uma base de R^2 tal que T(u)=(0,0) e T(v)=u. Mostre que T não é diagonalizável. Seja V um espaço vetorial que é gerado por sete vetores, então o que você pode afirmar com relação à dimensão de V ?. E estes sete vetores são linearmente dependentes?. 5 Seja T: R^n R^n um operador linear. O operador complexificado de T é definido como: TC: C^n C^n, TC(u+i v)=T(u)+i T(v), onde u, v in R^n e u+i v in C^n. Mostre que: (a) TC: C^n C^n é linear; (b) ker(TC)=u+i v in C^n: u, v in ker(T); (c) Im(TC)=u+i v in C^n: u, v in Im(T); (d) Se lambda in R é autovalor de T, então lambda também é autovalor de TC; (e) Se T: R^2 R^2, T(x, y)=(-y, x), então T não é diagonalizável, mas TC é diagonalizável; (f) TC^2=(T^2)C. 6 Seja T: R^3 R^3 um operador linear cuja matriz na base canônica de R^3 é [T]=(ccc-9 & 4 & 4 -8 & 3 & 4 -16 & 8 & 7). Verifique que T é diagonalizável. Encontre matrizes P invertível e D diagonal, tais que P[T] P^-1=D.