Calcule a dimensão de cada um dos subespaços vetoriais de V=M2(K)
A in V / A^t=A

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subespaço
S=Ain M2(K)mid A^t=A.
Aqui V=M2(K) tem dimensão 4, e S é o conjunto das matrizes simétricas 2times2. Vamos achar uma base de S para medir sua dimensão.

Passo 2

Seja
A= a & b c & d in M2(K)
A condição A^t=A implica
c=b,
ou seja, toda matriz simétrica tem a forma
a & b b & d ,
com a,b,din K.

Passo 3

Podemos escrever
a & b b & d = a 1 & 0 0 & 0 + b 0 & 1 1 & 0 + d 0 & 0 0 & 1
Logo as matrizes
E11=1&00&0, E12+E21=0&11&0, E22=0&00&1
formam uma base de S.

Passo 4

Como a base de S tem 3 vetores, concluímos que
dim S = 3

Resposta

3

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