Seja T: R^3 R^3 um operador linear cuja representação matricial em relação à base canônica de R^3 é
[T]beta=(ccc 0 & a & 0 b & 0 & b 0 & a & 0 )
Determine os autovalores e autovetores de T. Determine, para quais valores de a e b, T é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T: R^3to R^3 cuja matriz na base canônica é
A ;=;[T]beta = 0 & a & 0 b & 0 & b 0 & a & 0
Queremos achar os autovalores e autovetores de T e decidir para quais a,b T é diagonalizável. Vamos usar o cálculo do polinômio característico det(A-lambda I) e resolver (A-lambda I)v=0.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico
det(A-lambda I) =det -lambda & a & 0 b & -lambda & b 0 & a & -lambda
Expandindo pela primeira linha,
det(A-lambda I) =-lambdal((-lambda)(-lambda)-b,ar);-;al(b(-lambda)-bcdot0r) =-lambda(lambda^2-ab)+a,blambda
Reagrupando e multiplicando por -1, obtemos
det(A-lambda I) =lambda(lambda^2-2ab)

Passo 3

As raízes de det(A-lambda I)=0 são
lambda1=0, lambda2,3=pmraiz2ab
Portanto, estes são os autovalores de T. Note que se ab<0 então raiz2ab fica imaginário (sem autovalores reais).

Passo 4

Autovetores para
Se , e se então . Logo uma família de soluções é
Esse vetor gera o espaço próprio de .

Passo 5

Autovetores para
da primeira equação vem ), e da terceira vem . A segunda fica automaticamente satisfeita por . Então podemos escolher

Passo 6

Condição de diagonalizabilidade. Para haver base de R^3 formada por autovetores reais precisamos de três autovalores reais distintos. Logo é preciso
2ab > 0 Long<=ftrightarrow ab > 0
Se ab > 0 então lambda1 = 0 e lambda2,3 = pm raiz2ab são três valores reais distintos, com três autovetores linearmente independentes, e T é diagonalizável sobre R.
Se ab < 0, lambda2,3 são complexos e não há diagonalização real.
Se ab = 0 mas (a,b) neq (0,0), o único autovalor real é lambda = 0 (mult. alg. 3) mas a dimensão do espaço próprio é 2, não chega a 3, então não é diagonalizável.
Se a = b = 0, T = 0 e todo vetor é autovetor de lambda = 0, então é trivialmente diagonalizável.

Resposta

Autovalores:
lambda1=0, lambda2,3=pmraiz2ab
Autovetores correspondentes:
v1=(1,0,-1)^T para lambda1=0, v2=(1,tfracraiz2aba,1)^T para lambda2=+raiz2ab, v3=(1,-tfracraiz2aba,1)^T para lambda3=-raiz2ab
T é diagonalizável sobre R exatamente quando ab>0 (além do caso trivial a=b=0).

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