Seja T: R^2 R^2 um operador linear definido por
T(x, y)=(a x+b y, c x+d y)
com a, b, c e d números reais positivos.
(a) Mostre que os autovalores de T são dados por
(a+d) pm raiz(a-d)^2+4 b c2
(b) T é diagonalizável?

Passo 1

Resumindo: temos o operador linear
T(x,y) = (a x + b y,,c x + d y)
em R^2, com a,b,c,d>0. O conteúdo é cálculo de autovalores e critério de diagonalização. Para achar os autovalores vamos escrever a matriz de T, formar seu polinômio característico e usar a fórmula de Bhaskara. Depois, vamos discutir se são distintos para concluir sobre diagonalização.

Passo 2

A matriz de T na base canônica é
A=a & b[6pt]c & d
Os autovalores lambda satisfazem
det(A - lambda I)=0,
ou seja
det!a-lambda & b[3pt]c & d-lambda=0 ]

Passo 3

Calculando o determinante, obtemos o polinômio característico
(a-lambda)(d-lambda) - b,c = 0 Longrightarrow lambda^2 - (a+d),lambda + (ad - bc) = 0

Passo 4

Aplicando a fórmula de Bhaskara a
lambda^2 - (a+d)lambda + (ad - bc) = 0
temos
lambda = (a+d)pm raiz(a+d)^2 - 4(ad - bc)2
No interior da raiz aparece
(a+d)^2 - 4(ad - bc) = a^2 + 2ad + d^2 - 4ad + 4bc = (a-d)^2 + 4bc
Logo os autovalores são
lambda1,2 = (a+d)pm raiz(a-d)^2 + 4bc2

Passo 5

Para saber se T é diagonalizável na forma real, basta ver se os dois autovalores são distintos. Como b>0 e c>0, temos
(a-d)^2 + 4bc > (a-d)^2 >= 0,
e portanto
raiz(a-d)^2 + 4bc > |a-d|. Isso garante que
lambda1neqlambda2. Dois autovalores reais distintos em R^2 implicam que existem dois autovetores linearmente independentes e, então, T é diagonalizável.

Resposta

(a) Os autovalores são
(a+d)pm raiz(a-d)^2 + 4bc2
(b) Sim. Como o discriminante (a-d)^2+4bc é estritamente positivo, os autovalores são reais e distintos, logo T é diagonalizável.

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