Seja
um operador linear definido por
com
e
números reais positivos.
(a) Mostre que os autovalores de
são dados por
(b)
é diagonalizável?
(a) Mostre que os autovalores de
Passo 1
Resumindo: temos o operador linear
em
, com
. O conteúdo é cálculo de autovalores e critério de diagonalização. Para achar os autovalores vamos escrever a matriz de
, formar seu polinômio característico e usar a fórmula de Bhaskara. Depois, vamos discutir se são distintos para concluir sobre diagonalização.
Passo 2
A matriz de
na base canônica é
Os autovalores
satisfazem
ou seja
Passo 3
Calculando o determinante, obtemos o polinômio característico
Passo 4
Aplicando a fórmula de Bhaskara a
temos
No interior da raiz aparece
Logo os autovalores são
Passo 5
Para saber se
é diagonalizável na forma real, basta ver se os dois autovalores são distintos. Como
e
, temos
e portanto
. Isso garante que
. Dois autovalores reais distintos em
implicam que existem dois autovetores linearmente independentes e, então,
é diagonalizável.
Resposta
(a) Os autovalores são
(b) Sim. Como o discriminante
é estritamente positivo, os autovalores são reais e distintos, logo
é diagonalizável.