Determine um operador de \mathbb{R}^{4} tal que o núcleo e a imagem tenha a mesma dimensão.

Passo 1

O enunciado pede um operador linear T\colon \mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4 tal que \dim\ker(T)=\dim\mathrm{Im}(T).
O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Núcleo e Imagem (Teorema da Dimensão), que diz
\dim\ker(T)+\dim\mathrm{Im}(T)=\dim\mathbb{R}^4=4.

Passo 2

Seja k=\dim\ker(T) e r=\dim\mathrm{Im}(T).
Pelo Teorema da Dimensão temos
k + r = 4.
Como queremos k = r, basta resolver
2k = 4 \quad\Longrightarrow\quad k = 2 \quad\text{e}\quad r = 2.

Passo 3

Uma construção simples é projetar \mathbb{R}^4 sobre as duas primeiras componentes. Definimos T por
T(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) = (x_{1},\,x_{2},\,0,\,0).
Nesse caso:
  1. \ker(T)=\{(0,0,x_{3},x_{4})\mid x_{3},x_{4}\in\mathbb{R}\}, que tem dimensão 2.
  2. \mathrm{Im}(T)=\{(y_{1},y_{2},0,0)\mid y_{1},y_{2}\in\mathbb{R}\}, que também tem dimensão 2.
Logo \dim\ker(T)=\dim\mathrm{Im}(T)=2.

Resposta

Definindo
T(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(x_{1},x_{2},0,0),
temos \dim\ker(T)=2 e \dim\mathrm{Im}(T)=2, conforme desejado.

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