Determine um operador de
tal que o núcleo e a imagem tenha a mesma dimensão.
Passo 1
O enunciado pede um operador linear
tal que
.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Núcleo e Imagem (Teorema da Dimensão), que diz
O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Núcleo e Imagem (Teorema da Dimensão), que diz
Passo 2
Seja
e
.
Pelo Teorema da Dimensão temos
Pelo Teorema da Dimensão temos
Como queremos
, basta resolver
Passo 3
Uma construção simples é projetar
sobre as duas primeiras componentes. Definimos
por
Nesse caso:
-
, que tem dimensão . -
, que também tem dimensão .
Logo
.
Resposta
Definindo
temos
e
, conforme desejado.