Seja T: R^3 R^2 dada por T(x, y, z)=(2 x+y-z, x+2 y).
Determine uma base e a dimensão de Ker(T) e da Im(T).

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear Tcolon R^3toR^2 definida por
T(x,y,z)=(2x+y-z,;x+2y)
Pede-se uma base e a dimensão de Ker(T) e de Im(T). Vamos usar que Ker(T) é a solução do sistema homogêneo Av=0 e que Im(T) é o espaço gerado pelas colunas de A, onde A é a matriz de T na base canônica.

Passo 2

Escrevemos a matriz de na base canônica:
Para encontrar , resolvemos
isto é,

Passo 3

Da segunda equação vem x = -2y. Substituindo na primeira:
2(-2y) + y - z = 0 Longrightarrow -4y + y - z = 0 Longrightarrow z = -3y
Logo todo vetor do núcleo é
,(x,y,z) = y,(-2,1,-3). Assim
Ker(T)=;y(-2,1,-3)mid yinR.

Passo 4

Para Im(T) usamos as colunas de A:
c1=(2,1), c2=(1,2), c3=(-1,0)
Como det2&11&2=3neq0, c1 e c2 são independentes e geram todo o espaço. Logo
Im(T)=span,(2,1),(1,2).

Resposta

Uma base e as dimensões são:
Ker(T): base (-2,1,-3), diml(Ker(T)r)=1.
Im(T): base (2,1),(1,2), diml(Im(T)r)=2.

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