Seja dada por .
Determine uma base e a dimensão de e da .
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação linear definida por
Pede-se uma base e a dimensão de e de . Vamos usar que é a solução do sistema homogêneo e que é o espaço gerado pelas colunas de , onde é a matriz de na base canônica.
Passo 2
Escrevemos a matriz de na base canônica:
Para encontrar , resolvemos
isto é,
Passo 3
Da segunda equação vem x = -2y. Substituindo na primeira:
2(-2y) + y - z = 0 Longrightarrow -4y + y - z = 0 Longrightarrow z = -3y
Logo todo vetor do núcleo é ,(x,y,z) = y,(-2,1,-3). Assim Ker(T)=;y(-2,1,-3)mid yinR.
Passo 4
Para Im(T) usamos as colunas de A:
c1=(2,1), c2=(1,2), c3=(-1,0)
Como det2&11&2=3neq0, c1 e c2 são independentes e geram todo o espaço. Logo Im(T)=span,(2,1),(1,2).