Verifique se as seguintes funções f: R^2 times R^2 R são produtos internos sobre R^2.
f((x1, y1),(x2, y2))=4 y1 y2+x1 x2-x1 y2-x2 y1.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
fl((x1,y1),(x2,y2)r)=4,y1y2+x1x2-x1y2-x2y1
é um produto interno em R^2. Para isso, precisamos checar as três propriedades de um produto interno real:
  1. Simetria: f(u,v)=f(v,u).
  2. Bilinearidade em cada argumento.
  3. Definida-positividade: f(v,v)>0 para todo vneq(0,0).

Passo 2

Verificação de simetria. Tome
u=(x1,y1), v=(x2,y2)
Então
f(u,v)=4y1y2+x1x2-x1y2-x2y1,
e trocando u e v obtém-se
f(v,u)=4y2y1+x2x1-x2y1-x1y2,
que é exatamente igual a f(u,v). Logo f é simétrica.

Passo 3

Verificação de bilinearidade. A expressão de f é soma de termos do tipo c,xi^(cdot)xj^(cdot), ou seja, é linear em cada conjunto de coordenadas (x1,y1) e em (x2,y2). Assim, para escalares alpha,beta e vetores u,u',v temos
f(alpha u+beta u',v)=alpha,f(u,v)+beta,f(u',v),
e analogamente na segunda componente. Portanto, f é bilinear.

Passo 4

Verificação de definida-positividade. Para v=(x,y) calcule
f(v,v)=4y^2+x^2-2xy
Reescrevendo,
f(v,v)=x^2-2xy+4y^2=(x-y)^2+3y^2
Como (x-y)^2>=0 e 3y^2>=0, e a soma só se anula se x-y=0 e y=0 (isto é x=0), segue que f(v,v)>0 sempre que vneq(0,0). Logo f é definida-positiva.

Resposta

A função f satisfaz simetria, bilinearidade e definida-positividade, portanto é um produto interno em R^2.

Exercícios relacionados