Verifique se as seguintes funções
são produtos internos sobre
.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é um produto interno em
. Para isso, precisamos checar as três propriedades de um produto interno real:
- Simetria:
. - Bilinearidade em cada argumento.
- Definida-positividade:
para todo .
Passo 2
Verificação de simetria. Tome
Então
e trocando
e
obtém-se
que é exatamente igual a
. Logo
é simétrica.
Passo 3
Verificação de bilinearidade. A expressão de
é soma de termos do tipo
, ou seja, é linear em cada conjunto de coordenadas
e em
. Assim, para escalares
e vetores
temos
e analogamente na segunda componente. Portanto,
é bilinear.
Passo 4
Verificação de definida-positividade. Para
calcule
Reescrevendo,
Como
e
, e a soma só se anula se
e
(isto é
), segue que
sempre que
. Logo
é definida-positiva.
Resposta
A função
satisfaz simetria, bilinearidade e definida-positividade, portanto é um produto interno em
.