1. Verifique se as aplicações a seguir são produtos internos nos espaços vetoriais indicados.
    (a) lang<=(x1, x2),(y1, y2)rang<==x1 y1-x1 y2-x2 y1+x2 y2 em V=R^2
    (b) lang<= f, grang<==integral0^1 f(t) cdot g(t) d t onde V=C^0([0,1] ; R) isto é V é o espaço vetorial das funções reais contínuas em [0,1];
    (c) <a x^2+b x+c, d x^2+e x+f>=a d x^2+b e x+(c-f), onde V=P2
    (d) lang<=(lla & b c & d),(lle & f g & h)rang<==a cdot e+b cdot f+c cdot g+d cdot h

Passo 1

O enunciado pede para verificar, em cada caso, se a aplicação dada em “ V” satisfaz os três axiomas de produto interno num espaço real:
  1. Bilinearidade (linearidade em cada argumento).
  2. Simetria: lang<= u,vrang<==lang<= v,urang<=.
  3. Definida-positividade: lang<= v,vrang<=>0 para todo vneq0 e lang<= v,vrang<==0 só se v=0.

Passo 2

Analisando o caso (a):
lang<=(x1,x2),(y1,y2)rang<= = x1y1 - x1y2 - x2y1 + x2y2 = (x1 - x2),(y1 - y2)
  • É bilinear e é simétrica porque (x1-x2)(y1-y2)=(y1-y2)(x1-x2).
  • Mas
lang<=(x1,x2),(x1,x2)rang<= =(x1-x2)^2
pode ser zero mesmo com (x1,x2)neq(0,0) (basta x1=x2).
Portanto não é definida-positiva e não é produto interno.

Passo 3

Analisando o caso (b):
lang<= f,grang<= =integral0^1f(t),g(t),dt
no espaço C^0([0,1];R).
  • Linearidade e simetria vêm direto das propriedades da integral.
  • Para fneq0 contínua existe ponto onde f(t)neq0, logo
lang<= f,frang<= =integral0^1 [f(t)]^2,dt>0
Assim cumpre todos os axiomas e é produto interno.

Passo 4

Analisando o caso (c):
lang<= ax^2+bx+c,;dx^2+ex+frang<= = a,d,x^2 + b,e,x + (c - f)
O resultado é um polinômio em x, não um número real, portanto falha já na codomínio. Nem faz sentido verificar os demais axiomas. Não é produto interno.

Passo 5

Analisando o caso (d):
  • É bilinear e simétrica (produto escalar dos quatro componentes).
  • Para ao menos um dos coeficientes é não nulo, então
Portanto é produto interno.

Resposta

(a) Não.
(b) Sim.
(c) Não.
(d) Sim.

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