- Verifique se as aplicações a seguir são produtos internos nos espaços vetoriais indicados.
(a)
em
(b)
onde
isto é
é o espaço vetorial das funções reais contínuas em
;
(c)
, onde
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para verificar, em cada caso, se a aplicação dada em “
” satisfaz os três axiomas de produto interno num espaço real:
- Bilinearidade (linearidade em cada argumento).
- Simetria:
. - Definida-positividade:
para todo e só se .
Passo 2
Analisando o caso (a):
- É bilinear e é simétrica porque
. - Mas
pode ser zero mesmo com
(basta
).
Portanto não é definida-positiva e não é produto interno.
Portanto não é definida-positiva e não é produto interno.
Passo 3
Analisando o caso (b):
no espaço
.
- Linearidade e simetria vêm direto das propriedades da integral.
- Para
contínua existe ponto onde , logo
Assim cumpre todos os axiomas e é produto interno.
Passo 4
Analisando o caso (c):
O resultado é um polinômio em
, não um número real, portanto falha já na codomínio. Nem faz sentido verificar os demais axiomas. Não é produto interno.
Passo 5
Analisando o caso (d):
- É bilinear e simétrica (produto escalar dos quatro componentes).
- Para
ao menos um dos coeficientes é não nulo, então
Portanto é produto interno.
Resposta
(a) Não.
(b) Sim.
(c) Não.
(d) Sim.
(b) Sim.
(c) Não.
(d) Sim.