Dada a matriz M=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right) determine a transformação linear F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que se tenha (F)_{B, C}=M sendo B=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,1,2)\} e C=\{(1,0),(1,1)\}.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
Pede: determinar a transformação linear F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 tal que a matriz de F relativa à base do domínio B e à base do contradomínio C é
Base do domínio B=\{b_1,b_2,b_3\} com b_1=(1,0,0), b_2=(0,1,0), b_3=(0,1,2).
Base do contradomínio C=\{c_1,c_2\} com c_1=(1,0), c_2=(1,1).
Informação importante extraída da matriz M:
A coluna j de M são as coordenadas de F(b_j) na base C. Ou seja, se a coluna j é \begin{pmatrix}a\\[2pt]b\end{pmatrix}, entãoF(b_j)=a\,c_1+b\,c_2.]
Passo 2
Entendendo a relação entre matriz e imagens dos vetores da base:
Relembrando: dado (F)_{B,C}=M, as colunas de M são exatamente [F(b_1)]_C,\,[F(b_2)]_C,\,[F(b_3)]_C.
Para obter F(b_j) no sistema de coordenadas canônico (vetores em \mathbb{R}^2), é preciso converter coordenadas relativas à base C para coordenadas padrão somando combinações lineares dos vetores de C:\text{se }[F(b_j)]_C=\begin{pmatrix}a\\[2pt]b\end{pmatrix}\quad\text{então}\quad F(b_j)=a\,c_1+b\,c_2.ã]
Passo 3
Calcular F(b_1),F(b_2),F(b_3) usando as colunas de M e os vetores de C:
Primeira coluna de M é \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix}. Logo
F(b_1)=1\cdot c_1+0\cdot c_2 = c_1 = (1,0).
Segunda coluna de M é \begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix}. Logo