Dada a matriz M=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right) determine a transformação linear F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que se tenha (F)_{B, C}=M sendo B=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,1,2)\} e C=\{(1,0),(1,1)\}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede: determinar a transformação linear F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 tal que a matriz de F relativa à base do domínio B e à base do contradomínio C é
(F)_{B,C}=M=\begin{pmatrix}1&2&3\\[4pt]0&1&0\end{pmatrix}.
  • Bases fornecidas:
    • Base do domínio B=\{b_1,b_2,b_3\} com b_1=(1,0,0), b_2=(0,1,0), b_3=(0,1,2).
    • Base do contradomínio C=\{c_1,c_2\} com c_1=(1,0), c_2=(1,1).
  • Informação importante extraída da matriz M:
    • A coluna j de M são as coordenadas de F(b_j) na base C. Ou seja, se a coluna j é \begin{pmatrix}a\\[2pt]b\end{pmatrix}, então F(b_j)=a\,c_1+b\,c_2.]

Passo 2

Entendendo a relação entre matriz e imagens dos vetores da base:
  • Relembrando: dado (F)_{B,C}=M, as colunas de M são exatamente [F(b_1)]_C,\,[F(b_2)]_C,\,[F(b_3)]_C.
  • Para obter F(b_j) no sistema de coordenadas canônico (vetores em \mathbb{R}^2), é preciso converter coordenadas relativas à base C para coordenadas padrão somando combinações lineares dos vetores de C: \text{se }[F(b_j)]_C=\begin{pmatrix}a\\[2pt]b\end{pmatrix}\quad\text{então}\quad F(b_j)=a\,c_1+b\,c_2.ã]

Passo 3

Calcular F(b_1),F(b_2),F(b_3) usando as colunas de M e os vetores de C:
  • Primeira coluna de M é \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix}. Logo
    F(b_1)=1\cdot c_1+0\cdot c_2 = c_1 = (1,0).
  • Segunda coluna de M é \begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix}. Logo
    F(b_2)=2\cdot c_1+1\cdot c_2 = 2(1,0)+(1,1)=(3,1).
  • Terceira coluna de M é \begin{pmatrix}3\\[2pt]0\end{pmatrix}. Logo
    F(b_3)=3\cdot c_1+0\cdot c_2 = 3(1,0)=(3,0).]

Passo 4

Expressar um vetor arbitrário v=(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 em coordenadas relativas à base B:
  • Queremos \alpha,\beta,\gamma tais que \alpha b_1+\beta b_2+\gamma b_3 = (x,y,z).
  • Substituindo b_1,b_2,b_3: \alpha(1,0,0)+\beta(0,1,0)+\gamma(0,1,2)=(\alpha,\\ \beta+\gamma,\\\ 2\gamma).
  • Igualando componentes a (x,y,z) obtemos o sistema \alpha=x,\qquad \beta+\gamma=y,\qquad 2\gamma=z.
  • Daí \gamma=\frac{z}{2},\qquad \beta=y-\gamma = y-\frac{z}{2},\qquad \alpha=x.
  • Portanto as coordenadas de v na base B são [v]_B=\begin{pmatrix}x\\[2pt]y-\dfrac{z}{2}\\[4pt]\dfrac{z}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Usar linearidade para calcular F(v) a partir de [v]_B e das imagens F(b_j):
  • Pela linearidade, F(v)=\alpha F(b_1)+\beta F(b_2)+\gamma F(b_3),com \alpha,\beta,\gamma obtidos no passo anterior.
  • Substituindo F(b_j) e \alpha,\beta,\gamma: F(v)=x\,(1,0)+\Bigl(y-\frac{z}{2}\Bigr)(3,1)+\frac{z}{2}(3,0).

Passo 6

Calcular e simplificar as componentes de F(v):
  • Componente 1:
    x + 3\Bigl(y-\frac{z}{2}\Bigr) + 3\cdot\frac{z}{2} = x + 3y - \frac{3z}{2} + \frac{3z}{2} = x + 3y.
  • Componente 2:
    0\cdot x + 1\cdot\Bigl(y-\frac{z}{2}\Bigr) + 0\cdot\frac{z}{2} = y-\frac{z}{2}.
  • Logo, para v=(x,y,z) vale
    F(x,y,z) = \bigl(x+3y,\; y-\tfrac{z}{2}\bigr).

Passo 7

Obter a matriz de F na base canônica (útil para aplicar F como multiplicação por matriz):
  • A fórmula acima equivale a multiplicar por a matriz A\in\mathcal{M}_{2\times3}(\mathbb{R}) A=\begin{pmatrix}1 & 3 & 0\\[4pt]0 & 1 & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix},pois \begin{pmatrix}1 & 3 & 0\\[4pt]0 & 1 & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x+3y\\[4pt]y-\dfrac{z}{2}\end{pmatrix}.]

Resposta

F(x,y,z)=\bigl(x+3y,\; y-\tfrac{z}{2}\bigr)
\text{Matriz de }F\text{ na base canônica}= \begin{pmatrix}1 & 3 & 0\\[4pt]0 & 1 & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}ô]

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