Q1. Seja T o operador linear em P_{2}(\mathbb{R}) definido por T\left(a x^{2}+b x+c\right)=(a+2 b) x+(b+c).
a) [1,5 ponto ] Determine as dimensões do núcleo e da imagem de T;
b) [1 ponto] O operador T é injetor? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define o operador linear \displaystyle T\colon P_{2}(\mathbb{R})\to P_{1}(\mathbb{R})
por
T\bigl(a x^{2}+b x+c\bigr) \;=\;(a+2b)\,x \;+\;(b+c).
Pede-se (a) as dimensões de \ker T e \operatorname{Im}T e (b) verificar se T é injetor. Vamos usar o cálculo direto das equações que definem o núcleo e analisar o posto de T.

Passo 2

Para achar \ker T\), impomos \[T\bigl(a x^{2}+b x+c\bigr)=0\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} a+2b=0,\\\ b+c=0. \end{cases}
Essas duas equações lineares dão as condições que os coeficientes (a,b,c] devem satisfazer para que o polinômio caia no núcleo.

Passo 3

Das equações
a + 2b = 0\quad\Rightarrow\quad a = -2b, \qquad b + c = 0\quad\Rightarrow\quad c = -b,
vemos que b é livre e determina a e c. Logo o espaço solução é
\ker T = \{\,(-2b)\,x^{2} + b\,x +(-b)\mid b\in\mathbb{R}\}
e tem dimensão \dim\ker T = 1.

Passo 4

Para a imagem de T, note que um polinômio u x + v\in P_{1}(\mathbb{R}) surge de
u = a + 2b, \quad v = b + c.
Dadas quaisquer u,v\in\mathbb{R} basta escolher b livre e definir a=u-2b, c=v-b. Assim todo par (u,v) é atingido por algum (a,b,c). Logo
\operatorname{Im}T = P_{1}(\mathbb{R})
e \dim\operatorname{Im}T = 2.

Passo 5

Para verificar injetividade, bastaria que \ker T=\{0\}. Mas vimos que \dim\ker T=1>0, isto é, há polinômios não nulos que vão para zero. Logo T não é injetor.

Resposta

a) \dim\ker T = 1 e \dim\operatorname{Im}T = 2.
b) T não é injetor, pois \ker T contém polinômios não nulos.

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