Q1. Seja T o operador linear em
definido por
.
a)
ponto
Determine as dimensões do núcleo e da imagem de
;
b) [1 ponto] O operador
é injetor? Justifique sua resposta.
a)
b) [1 ponto] O operador
Passo 1
O enunciado define o operador linear
por
por
Pede-se (a) as dimensões de
e
e (b) verificar se
é injetor. Vamos usar o cálculo direto das equações que definem o núcleo e analisar o posto de
.
Passo 2
Para achar
Essas duas equações lineares dão as condições que os coeficientes (a,b,c] devem satisfazer para que o polinômio caia no núcleo.
Passo 3
Das equações
vemos que
é livre e determina
e
. Logo o espaço solução é
e tem dimensão
.
Passo 4
Para a imagem de
, note que um polinômio
surge de
Dadas quaisquer
basta escolher
livre e definir
,
. Assim todo par
é atingido por algum
. Logo
e
.
Passo 5
Para verificar injetividade, bastaria que
. Mas vimos que
, isto é, há polinômios não nulos que vão para zero. Logo
não é injetor.
Resposta
a)
e
.
b) não é injetor, pois
contém polinômios não nulos.
b)