Seja um operador linear do
tal que
e
. Determine
a)
b)
a)
b)
Passo 1
O enunciado dá um operador linear
com as informações:
As perguntas são:
a) Determinar para um vetor genérico
.
b) Calcular .
a) Determinar
b) Calcular
Passo 2
Lembre-se (passo-a-passo): um operador linear satisfaz as duas propriedades seguintes para quaisquer escalares
e vetores
:
No caso de
usamos a base canônica formada por
e
. Qualquer vetor
pode ser escrito como combinação linear
Aplicando a linearidade do operador
obtemos a fórmula fundamental que vamos usar:
Passo 3
Agora substituímos os valores dados de
e
. Usando a igualdade do passo anterior:
Multiplicação de escalar por vetor e soma de vetores fazem-se componente a componente. Ou seja,
Somando componente a componente:
Passo 4
Interpretação matricial (útil na prova): a matriz de
relativa à base canônica tem como colunas as imagens de
e
. Logo
E de fato a multiplicação matricial confirma a fórmula:
Passo 5
Agora calculamos
usando a fórmula encontrada. Seja
e
. Então
Calculando as multiplicações e somas:
Portanto
Resposta
a)
b)
b)