Seja um operador linear do \mathbb{R}^{2} tal que T(1,0)=(2,1) e T(0,1)=(1,3). Determine
a) T(x, y)
b) T(1,2)

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} com as informações:
T(1,0)=(2,1)
T(0,1)=(1,3)
As perguntas são:
a) Determinar T(x,y) para um vetor genérico (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
b) Calcular T(1,2).

Passo 2

Lembre-se (passo-a-passo): um operador linear satisfaz as duas propriedades seguintes para quaisquer escalares a,b e vetores u,v:
T(a u + b v) = a\,T(u) + b\,T(v)
No caso de \mathbb{R}^{2} usamos a base canônica formada por (1,0) e (0,1). Qualquer vetor (x,y) pode ser escrito como combinação linear
(x,y) = x\,(1,0) + y\,(0,1).
Aplicando a linearidade do operador T obtemos a fórmula fundamental que vamos usar:
T(x,y) = x\,T(1,0) + y\,T(0,1).

Passo 3

Agora substituímos os valores dados de T(1,0) e T(0,1). Usando a igualdade do passo anterior:
T(x,y) = x\,(2,1) + y\,(1,3).
Multiplicação de escalar por vetor e soma de vetores fazem-se componente a componente. Ou seja,
x\,(2,1) = (2x,\,x)
y\,(1,3) = (y,\,3y)
Somando componente a componente:
T(x,y) = (2x + y,\, x + 3y).

Passo 4

Interpretação matricial (útil na prova): a matriz de T relativa à base canônica tem como colunas as imagens de (1,0) e (0,1). Logo
A=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}.
E de fato a multiplicação matricial confirma a fórmula:
A\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x+y\\[4pt] x+3y\end{pmatrix} = T(x,y).]

Passo 5

Agora calculamos T(1,2) usando a fórmula encontrada. Seja x=1 e y=2. Então
T(1,2) = (2\cdot 1 + 2,\, 1 + 3\cdot 2).
Calculando as multiplicações e somas:
2\cdot 1 + 2 = 2 + 2 = 4
1 + 3\cdot 2 = 1 + 6 = 7
Portanto
T(1,2) = (4,7).

Resposta

a) T(x,y) = (2x + y,\, x + 3y)
b) T(1,2) = (4,7)

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