• Seja T um operador linear em R^3 e a matriz de T com respeito a base canônica é dada por [T]C=[rrr2 & 0 & 1 0 & -3 & 1 0 & 0 & -3].
    (a) Encontre o polinômio característico de T, os autovalores e autovetores correspondentes.
    (b) Ache [T]B, onde B=(0,1,1),(0,-1,1),(1,0,1)

Passo 1

O enunciado pede, em (a), o polinômio característico de T, seus autovalores e autovetores; e, em (b), a matriz de T na base
B = ,v1=(0,1,1),;v2=(0,-1,1),;v3=(1,0,1)
Para (a) vamos usar a definição de polinômio característico em termos do determinante de [T]C - lambda I. Para (b) vamos calcular T(vi) na base canônica e depois escrever cada T(vi) como combinação linear de B.

Passo 2

O polinômio característico é
pT(lambda) = detl([T]C - lambda Ir) = det 2-lambda & 0 & 1 0 & -3-lambda& 1 0 & 0 & -3-lambda
Como a matriz é triangular,
pT(lambda) = (2-lambda),(-3-lambda)^2
Os autovalores são as raízes:
lambda1 = 2 (multiplicidade algébrica 1) e lambda2 = -3 (multiplicidade algébrica 2).

Passo 3

Para resolvemos
Dessas equações vem e , livre. Logo
Para resolvemos
Dessas equações vem , , livre. Logo

Passo 4

Calculamos T(vi) em coordenadas canônicas usando [T]C.
Para v1=(0,1,1):
T(v1) = [T]C,011 = 1-2-3
Para v2=(0,-1,1):
T(v2) = [T]C,0-11 = 14-3
Para v3=(1,0,1):
T(v3) = [T]C,101 = 31-3

Passo 5

Escrevemos cada T(vi) como combinação de B. Se (a,b,c)B são as coordenadas, então
(a,b,c)B ;long<=ftrightarrow; a,v1 + b,v2 + c,v3 = (c,;a-b,;a+b+c)
Para T(v1)=(1,-2,-3) igualamos
c=1, a-b=-2, a+b+1=-3 ;Longrightarrow; a=-3,;b=-1,;c=1
Para T(v2)=(1,4,-3) damos
c=1, a-b=4, a+b+1=-3 ;Longrightarrow; a=0,;b=-4,;c=1
Para T(v3)=(3,1,-3) damos
c=3, a-b=1, a+b+3=-3 ;Longrightarrow; a=-tfrac52,;b=-tfrac72,;c=3
Assim, as colunas de [T]B são exatamente esses vetores de coordenadas.

Resposta

(a)
pT(lambda) = (2-lambda),(-3-lambda)^2,
autovalores lambda=2 (mult. alg. 1), lambda=-3 (mult. alg. 2);
autovetores para lambda=2: span(1,0,0);
para lambda=-3: span(0,1,0).
(b)
[T]B = -3 & 0 & -tfrac52 -1 & -4 & -tfrac72 1 & 1 & 3

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