Seja T o operador do \mathbb{R}^{2} definido por T(x, y)=(x-y, x+2 y). Determine a expressão do operador L do \mathbb{R}^{2} cuja matriz em relação à base canônica é a transposta da matriz de T (isto é, [L]=A^{t} onde A=[T] ).

Passo 1

O enunciado define o operador linear T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 por
T(x,y) = (\,x - y,\;x + 2y\,)
e pede para encontrar o operador L\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 cuja matriz na base canônica é a transposta da matriz de T.
Conteúdo: matriz de um operador linear em base canônica e operação de transposição.

Passo 2

Vamos determinar a matriz A=[T] de T na base canônica \{e_1=(1,0),\,e_2=(0,1)\}.
  • T(e_1)=T(1,0)=(1-0,\;1+2\cdot0)=(1,1).
  • T(e_2)=T(0,1)=(0-1,\;0+2\cdot1)=(-1,2).
    Logo, A tem como colunas os vetores T(e_1) e T(e_2):
A = \begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ 1 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

A transposta de A é
A^{t} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ -1 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Pela definição, [L]=A^{t} na base canônica significa que para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2
L(x,y) = A^{t}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 1\\\ -1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \bigl(x + y,\,-x + 2y\bigr).

Resposta

L(x,y) = \bigl(x + y,\,-x + 2y\bigr).

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