Seja B=(1,0,1),(1,0,0),(-1,1,1) uma base do R^3. Sabendo que as coordenadas do vetor u in R^3 com respeito à base B é (3,1,-1), quais são as coordenadas de u em relação da base canônica do R^3?

Passo 1

O enunciado nos dá a base B = b1, b2, b3 de R^3 com
b1 = (1,0,1), b2 = (1,0,0), b3 = (-1,1,1),
e informa que as coordenadas de u em relação a B são (3,1,-1). Queremos encontrar as coordenadas de u na base canônica de R^3.

Passo 2

Como a coordenada de u em B é (3,1,-1), temos a relação
u = 3,b1 + 1,b2 + (-1),b3

Passo 3

Substituindo os vetores de B na combinação linear, obtemos
u = 3,(1,0,1) + 1,(1,0,0) + (-1),(-1,1,1)

Passo 4

Agora somamos componente a componente:
3,(1,0,1) = (3,0,3), 1,(1,0,0) = (1,0,0), (-1),(-1,1,1) = (1,-1,-1),
então
u = (3,0,3) + (1,0,0) + (1,-1,-1) = (5,-1,2)

Resposta

As coordenadas de u na base canônica de R^3 são (5,-1,2).

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