Seja T um operador linear sobre R^3 que é representado em relação à base ordenada canônica pela matriz
[ccc 6 & -3 & -2 4 & -1 & -2 10 & -5 & -3 ]
Exprimir o polinômio minimal p de T sob a forma p=p1 p2, sendo p1 e p2 unitários e irredutíveis sobre o corpo dos números reais. Seja Wi o núcleo de pi(T). Determinar
bases betai dos espaços W1 e W2. Se Ti é o operador induzido sobre Wi por T, determinar a matriz de Ti em relação à base betai.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear TcolonR^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
A = 6 & -3 & -2 4 & -1 & -2 10 & -5 & -3
Queremos encontrar o polinômio mínimo de T, fatorá-lo sobre R em fatores unitários e irredutíveis p1 e p2, depois determinar os subespaços invariantes Wi=ker pi(T), bases betai de cada Wi e as matrizes de T|Wi nessas bases.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico chiT(lambda)=det(lambda I - A). O resultado é
chiT(lambda)=lambda^3-2lambda^2+lambda-2 =(lambda-2)(lambda^2+1)
Como as raízes são 2 (real simples) e pm i, o polinômio mínimo é
mT(lambda)=(lambda-2)(lambda^2+1)

Passo 3

Escolhemos
p1(lambda)=lambda-2, p2(lambda)=lambda^2+1,
ambos monicos e irreduzíveis sobre R, e
mT(lambda)=p1(lambda),p2(lambda)

Passo 4

Para resolvemos ,
cuja única condição efetiva é e . Desses obtemos , . Assim
logo podemos tomar com .

Passo 5

Para calculamos
e a equação sem restrição sobre . Logo
Tomamos com , .

Passo 6

No subespaço W1 temos
T(v1)=A(1,0,2)^T=(2,0,4)^T=2,(1,0,2)^T=2,v1,
logo a matriz de T1=T|W1 em beta1 é l[2r].

Passo 7

No subespaço W2 calculamos
T(v2)=A(1,1,0)^T=(3,3,5)^T=3,v2+5,v3, T(v3)=A(0,0,1)^T=(-2,-2,-3)^T=-2,v2-3,v3
Portanto, a matriz de T2=T|W2 em beta2 é
[T2]beta2 = 3 & -2 5 & -3 ,
cuja característica é lambda^2+1, como esperado.

Resposta

p(lambda)=mT(lambda)=(lambda-2)(lambda^2+1), p1(lambda)=lambda-2, p2(lambda)=lambda^2+1
beta1=(1,0,2), beta2=(1,1,0),(0,0,1)
[T1]beta1=l[2r], [T2]beta2 = 3 & -2 5 & -3

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