Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e sejam W1, cdots, Wk subespaços de V tais que
V=W1+cdots+Wk e dim V=dim W1+cdots+dim Wk
Demonstrar que V=W1 oplus cdots oplus Wk.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial de dimensão finita e que
V = W1 + W2 + cdots + Wk,
além de
dim V = dim W1 + dim W2 + cdots + dim Wk
Queremos mostrar que essa soma é direta, isto é, que cada vetor em V se escreve de modo único como soma de vetores wiin Wi. Para isso, vamos usar a ideia de juntar bases de cada subespaço e comparar dimensões.

Passo 2

Para cada i=1,2,dots,k, escolha uma base
Bi = vi1,vi2,dots,vi,di
de Wi, onde di = dim Wi. Considere a união
B = B1 ,cup B2 ,cupcdotscup Bk
Mostramos que B gera V. De fato, qualquer vetor vin V pode ser escrito como
v = w1 + w2 + cdots + wk,
com wiin Wi. Mas cada wi é combinação linear dos vetores de Bi. Logo v é combinação linear dos vetores de B, de modo que span(B)=V.

Passo 3

O número de elementos de B é
#B ;=;#B1 + #B2 + cdots + #Bk ;=;d1 + d2 + cdots + dk ;=;dim V
Assim, B é um conjunto gerador de V com exatamente dim V vetores. Em espaço de dimensão finita, isso implica que B é uma base de V. Em particular, B é linearmente independente.

Passo 4

A independência de B garante que a representação de um vetor por combinação dos elementos de B é única. Suponha então que
w1 + w2 + cdots + wk = 0,
com wiin Wi. Escrevendo cada wi em sua base Bi, obtemos uma combinação linear dos vetores de B que dá zero. Pela independência, todos os coeficientes são nulos, e daí cada wi=0. Isso mostra unicidade da decomposição e, por definição, que
V = W1oplus W2oplus cdotsoplus Wk

Resposta

V = W1 oplus W2 oplus cdots oplus Wk

Exercícios relacionados