Seja
um espaço vetorial de dimensão finita e sejam
subespaços de
tais que
Demonstrar que
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial de dimensão finita e que
além de
Queremos mostrar que essa soma é direta, isto é, que cada vetor em
se escreve de modo único como soma de vetores
. Para isso, vamos usar a ideia de juntar bases de cada subespaço e comparar dimensões.
Passo 2
Para cada
, escolha uma base
de
, onde
. Considere a união
Mostramos que
gera
. De fato, qualquer vetor
pode ser escrito como
com
. Mas cada
é combinação linear dos vetores de
. Logo
é combinação linear dos vetores de
, de modo que
.
Passo 3
O número de elementos de
é
Assim,
é um conjunto gerador de
com exatamente
vetores. Em espaço de dimensão finita, isso implica que
é uma base de
. Em particular,
é linearmente independente.
Passo 4
A independência de
garante que a representação de um vetor por combinação dos elementos de
é única. Suponha então que
com
. Escrevendo cada
em sua base
, obtemos uma combinação linear dos vetores de
que dá zero. Pela independência, todos os coeficientes são nulos, e daí cada
. Isso mostra unicidade da decomposição e, por definição, que