Seja T: R^5 R^5 o operador linear tal que
[T]=(ccccc 2 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1 & 0 & 1 )
Determine o polinômio mínimo de, T os autoespaços generalizados associados a cada autovalor e a forma canônica de Jordan de T.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:R^5toR^5 cuja matriz em base canônica é
[T]= 2 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1 & 0 & 1
Queremos o polinômio mínimo de T, os autoespaços generalizados para cada autovalor e a forma canônica de Jordan. Para isso vamos calcular o polinômio característico, as multiplicidades algébrica e geométrica, depois os núcleos de (T-lambda I) e (T-lambda I)^2.

Passo 2

Cálculo do polinômio característico chiT(lambda)=det(lambda I - [T]). Observando que lambda I-[T] é triangular por blocos, faz-se expansão de Laplace sobre a primeira linha e obtém-se
chiT(lambda)=(lambda-2)^3(lambda-1)^2
Logo os autovalores são lambda=2 (multiplicidade algébrica 3) e lambda=1 (multiplicidade algébrica 2).

Passo 3

Determinar a dimensão dos autoespaços (multiplicidade geométrica).
  1. Para lambda=2 resolvemos (A-2I)x=0 e obtemos as equações
    x1=0,;x2=x4,;x3=x5.
    Há dois graus de liberdade ( x4,x5), logo
    dimker(A-2I)=2.
  2. Para lambda=1 resolvemos (A-I)x=0 e obtemos
    x1=0,;x2=0,;x3=0, com x4,x5 livres.
    Logo dimker(A-I)=2.

Passo 4

O tamanho dos blocos de Jordan vem de comparar multiplicidades algébrica e geométrica:
  • Para lambda=1: mult. algébrica 2 e geométrica 2 Rightarrow dois blocos J1(1).
  • Para lambda=2: mult. algébrica 3 e geométrica 2 Rightarrow um bloco de tamanho 2 e outro de tamanho 1, J2(2)oplus J1(2).
    O polinômio mínimo é o produto dos fatores (lambda-lambdai)^si com si o maior tamanho de bloco de Jordan para lambdai. Logo
mT(lambda)=(lambda-2)^2(lambda-1)

Passo 5

Determinar os autoespaços generalizados
  1. Para calculamos . Se , verifica-se sem restrição em ) é dado por além de , dimensão 2, conforme indicado no passo anterior.

Passo 6

Forma canônica de Jordan de (ou seja, a matriz de Jordan) é blocos diagonais
onde

Resposta

mínimo polinômio:
autoespaços generalizados:
forma de Jordan:

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