Sejam
e
e
. Mostre que
.
10. Seja
o operador linear tal que
10. Seja
Passo 1
Resumindo o que foi dado e o que queremos mostrar. Temos o espaço vetorial
e três subespaços
Queremos provar que
isto é, que cada vetor de
V se escreve de modo único como soma de um vetor em cada
Wi .
Passo 2
Mostramos primeiro que qualquer vetor
(x,y,z,w)in V pode ser expresso como soma de um vetor de
W1 , um de
W2 e um de
W3 . Observe que
De fato:
-
pertence a(0,0,0,w) pois aliW1 .x=y=z=0 -
pertence a(0,0,z,0) pois aliW2 .x=y=w=0 -
pertence a(x,y,0,0) pois aliW3 .z=w=0
Portanto
Passo 3
Agora provamos a unicidade da decomposição. Suponha que
com
u1in W1 ,
u2in W2 ,
u3in W3 . Pelas definições:
- Em
temosu1 .u1x=u1y=u1z=0 - Em
temosu2 .u2x=u2y=u2w=0 - Em
temosu3 .u3z=u3w=0
Somando coordenada a coordenada, o primeiro componente do lado direito é
logo
u3x=x .
O segundo componente dáu1y+u2y+u3y=0+0+u3y=y , então
u3y=y .
O terceiro dáu1z+u2z+u3z=0+u2z+0=z , logo
u2z=z .
O quarto dáu1w+u2w+u3w=u1w+0+0=w , logo
u1w=w .
O segundo componente dá
O terceiro dá
O quarto dá
Portanto a única escolha possível é
mostrando que a decomposição é única.