Sejam V=R^4, W1=(x, y, z, w): x=y=z=0 e W2=(x, y, z, w): x=y= w=0 e W3=(x, y, z, w): w=z=0. Mostre que V=W1 oplus W2 oplus W3.
10. Seja T: R^5 R^5 o operador linear tal que
[T]=(ccccc 2 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1 & 0 & 1 )

Passo 1

Resumindo o que foi dado e o que queremos mostrar. Temos o espaço vetorial
V=R^4
e três subespaços
W1=(x,y,z,w)inR^4:x=y=z=0, W2=(x,y,z,w)inR^4:x=y=w=0, W3=(x,y,z,w)inR^4:z=w=0
Queremos provar que
V ;=; W1oplus W2oplus W3,
isto é, que cada vetor de V se escreve de modo único como soma de um vetor em cada Wi.

Passo 2

Mostramos primeiro que qualquer vetor (x,y,z,w)in V pode ser expresso como soma de um vetor de W1, um de W2 e um de W3. Observe que
(x,y,z,w) = underbrace(0,0,0,w)in W1 + underbrace(0,0,z,0)in W2 + underbrace(x,y,0,0)in W3
De fato:
  • (0,0,0,w) pertence a W1 pois ali x=y=z=0.
  • (0,0,z,0) pertence a W2 pois ali x=y=w=0.
  • (x,y,0,0) pertence a W3 pois ali z=w=0.
Portanto
W1+W2+W3=V

Passo 3

Agora provamos a unicidade da decomposição. Suponha que
(x,y,z,w) = u1+u2+u3 = (u1x,u1y,u1z,u1w) + (u2x,u2y,u2z,u2w) + (u3x,u3y,u3z,u3w),
com u1in W1, u2in W2, u3in W3. Pelas definições:
  • Em u1 temos u1x=u1y=u1z=0.
  • Em u2 temos u2x=u2y=u2w=0.
  • Em u3 temos u3z=u3w=0.
Somando coordenada a coordenada, o primeiro componente do lado direito é
u1x+u2x+u3x=0+0+u3x=x,
logo u3x=x.
O segundo componente dá u1y+u2y+u3y=0+0+u3y=y, então u3y=y.
O terceiro dá u1z+u2z+u3z=0+u2z+0=z, logo u2z=z.
O quarto dá u1w+u2w+u3w=u1w+0+0=w, logo u1w=w.
Portanto a única escolha possível é
u1=(0,0,0,w), u2=(0,0,z,0), u3=(x,y,0,0),
mostrando que a decomposição é única.

Resposta

V=W1oplus W2oplus W3.

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