Beleza, vamos lá! A questão trata de um operador linear que transforma um vetor em . Nosso objetivo é encontrar a matriz de representação desse operador, denotada por , em relação às bases e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de transformação linear, mudança de base e representação matricial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para encontrar a matriz , precisamos ver como o operador age sobre cada vetor da base e depois expressar o resultado em termos da base .
Passo 3
Vamos aplicar o operador em cada um dos vetores da base :
Para :
Para :
Para :
Passo 4
Agora, precisamos expressar esses resultados [(1, 1, 0)), e em termos da base .
Para fazer isso, vamos resolver sistemas lineares para cada vetor:
Para :
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo, (c = -2].
Então, [T(v_1) = 1 \cdot (1,0,1) + 1 \cdot (0,1,1) -2 \cdot (0,0,1)), ou seja, as coordenadas são .