Seja T: R^3 R^3 um operador linear tal que:
T(x, y, z)=(x-y, x+2 y-z, y-z)
Encontre [T]B^C, sendo B=(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1) e C=(1,0,1),(0,1,1),(0,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão trata de um operador linear T: R^3 R^3 que transforma um vetor (x, y, z) em (x - y, x + 2y - z, y - z) . Nosso objetivo é encontrar a matriz de representação desse operador, denotada por [T]B^C , em relação às bases B = (1,0,0), (0,1,1), (1,0,1) e C = (1,0,1), (0,1,1), (0,0,1) . Para isso, vamos precisar usar conceitos de transformação linear, mudança de base e representação matricial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para encontrar a matriz [T]B^C , precisamos ver como o operador T age sobre cada vetor da base B e depois expressar o resultado em termos da base C .

Passo 3

Vamos aplicar o operador T em cada um dos vetores da base B :
  1. Para v1 = (1,0,0) :
T(1,0,0) = (1 - 0, 1 + 2 cdot 0 - 0, 0 - 0) = (1, 1, 0)
  1. Para v2 = (0,1,1) :
T(0,1,1) = (0 - 1, 0 + 2 cdot 1 - 1, 1 - 1) = (-1, 1, 0)
  1. Para v3 = (1,0,1) :
T(1,0,1) = (1 - 0, 1 + 2 cdot 0 - 1, 0 - 1) = (1, 0, -1)

Passo 4

Agora, precisamos expressar esses resultados [(1, 1, 0)), e em termos da base .
Para fazer isso, vamos resolver sistemas lineares para cada vetor:
  1. Para :
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo, (c = -2].
Então, [T(v_1) = 1 \cdot (1,0,1) + 1 \cdot (0,1,1) -2 \cdot (0,0,1)), ou seja, as coordenadas são .
  1. Para :
Sistema:
Resolvendo, (c = 0].
Então, [T(v_2) = -1 \cdot (1,0,1) + 1 \cdot (0,1,1) +0 \cdot (0,0,1)), coordenadas .
  1. Para :
Sistema:
Resolvendo, (c = -2].
Então, , coordenadas .

Passo 5

Com as coordenadas de cada T(vi) em termos de C , podemos montar a matriz [T]B^C . Cada coluna da matriz corresponde às coordenadas de T(vi) :
[T]B^C = 1 & -1 & 1 1 & 1 & 0 -2 & 0 & -2

Resposta

A matriz de representação do operador T em relação às bases B e C é:
[T]B^C = 1 & -1 & 1 1 & 1 & 0 -2 & 0 & -2

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