Entre as funções dadas abaixo, verifique quais são transformações lineares.
T: R^2 R^2 ; T(x, y)=(x, x+1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função T: R^2 R^2 definida por T(x, y) = (x, x + 1) é uma transformação linear. Transformação linear é um conceito da álgebra linear que envolve funções que preservam operações de adição e multiplicação por escalar. Para resolver isso, vamos seguir alguns passos simples.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função T: V W é linear se, para todos os vetores u, v em V e todo escalar c , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Adição: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Multiplicação por escalar: T(cu) = cT(u)
Além disso, uma transformação linear deve enviar o vetor zero de V para o vetor zero de W , ou seja, T(0) = 0 .

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: se T(u + v) = T(u) + T(v) .
Seja u = (x1, y1) e v = (x2, y2) .
Calculando T(u + v) :
T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2, (x1 + x2) + 1)
Agora, calculando T(u) + T(v) :
T(u) = (x1, x1 + 1)
T(v) = (x2, x2 + 1)
T(u) + T(v) = (x1 + x2, (x1 + 1) + (x2 + 1)) = (x1 + x2, x1 + x2 + 2)
Comparando os dois resultados:
T(u + v) = (x1 + x2, x1 + x2 + 1) neq (x1 + x2, x1 + x2 + 2) = T(u) + T(v)
Então, a condição de adição não é satisfeita.

Passo 4

Mesmo já sabendo que a primeira condição falhou, vamos verificar a segunda condição por completude: T(cu) = cT(u) .
Calculando T(cu) :
T(c x1, c y1) = (c x1, c x1 + 1)
Calculando cT(u) :
cT(u) = c(x1, x1 + 1) = (c x1, c(x1 + 1)) = (c x1, c x1 + c)
Comparando:
T(cu) = (c x1, c x1 + 1) neq (c x1, c x1 + c) = cT(u)
A condição de multiplicação por escalar também não é satisfeita.

Passo 5

Além disso, vamos verificar o que acontece com o vetor zero:
T(0, 0) = (0, 0 + 1) = (0, 1) neq (0, 0)
Isso já mostra claramente que T não envia o vetor zero para o vetor zero, o que é necessário para uma transformação linear.

Resposta

A função T(x, y) = (x, x + 1) não é uma transformação linear.

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