Entre as funções dadas abaixo, verifique quais são transformações lineares.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função
definida por
é uma transformação linear. Transformação linear é um conceito da álgebra linear que envolve funções que preservam operações de adição e multiplicação por escalar. Para resolver isso, vamos seguir alguns passos simples.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se, para todos os vetores
em
e todo escalar
, as seguintes condições são verdadeiras:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Além disso, uma transformação linear deve enviar o vetor zero de
para o vetor zero de
, ou seja,
.
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição: se
.
Seja
e
.
Calculando
:
Agora, calculando
:
Comparando os dois resultados:
Então, a condição de adição não é satisfeita.
Passo 4
Mesmo já sabendo que a primeira condição falhou, vamos verificar a segunda condição por completude:
.
Calculando
:
Calculando
:
Comparando:
A condição de multiplicação por escalar também não é satisfeita.
Passo 5
Além disso, vamos verificar o que acontece com o vetor zero:
Isso já mostra claramente que
não envia o vetor zero para o vetor zero, o que é necessário para uma transformação linear.
Resposta
A função
não é uma transformação linear.