Seja
e suponha que
satisfaz
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Temos um espaço vetorial de dimensão finita
. - Há um operador linear
que satisfaz (isto é, ).
O que é pedido: - Mostrar que
.
Passo 2
Vamos recordar e fixar notações e conceitos usados na prova (isso é importantíssimo para entender cada passo):
- A imagem de
é o subespaço . - O núcleo (kernel) de
é . - A rank (posto) de
é . - A nullity (nulo) de
é .
Estas definições são básicas: a imagem é o conjunto de vetores alcançados por, o núcleo é o conjunto que é enviado para o vetor zero.
Passo 3
Mostro que
. Pegue um vetor arbitrário
. Então
por definição. Aplicando
de novo,
já que
pelo enunciado. Isso diz que
. Como
foi arbitrário, todo vetorde
pertence a
. Logo
Passo 4
Da inclusão de subespaços deduzimos uma desigualdade entre dimensões. Propriedade geral de subespaços diz que se
e
são subespaços de
e
então
. Aplicando isso a
e
obtemos
Passo 5
Agora uso o Teorema do Posto-Nulidade (rank–nullity): para um operador linear
em espaço de dimensão finita vale
Breve explicação de por que isso é verdade (esqueleto da prova do teorema): escolha uma base
de
e estenda-a a uma base de
, digamos
. Os vetores
geram
e são linearmente independentes, portanto formam uma base de
. Assim
e
, logo
, que é exatamente a fórmula acima.
Passo 6
Combine a desigualdade do Passo 4 com a identidade do Passo 5. Como
, substituindo na expressão de rank–nullity dá
Reescrevendo,
que é exatamente a desigualdade pedida.
Passo 7
Comentário final e intuição: a condição
força a imagem de
a cair dentro do núcleo; portanto a parte “efetiva” que
consegue produzir (a imagem) está limitada pelo tamanho do conjunto que é anulado (o núcleo). Como a dimensão total é soma dessas duas quantidades (posto + nulidade), a imagem não pode ser maior que metade do espaço. Um exemplo em que a igualdade ocorre: tome
e defina
. Então
,
e
, logo a desigualdade fica igualdade.