Se \theta é o ângulo entre os vetores A, B \in \mathbb{R}^{n}, prove que
\|A-B\|^{2}=\|A\|^{2}+\|B\|^{2}-2\|A\|\|B\| \cos \theta

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Temos dois vetores \,A,B\in\mathbb{R}^{n}.
  • Denota-se por \theta o ângulo entre esses vetores.
    O que precisamos provar é a identidade
\|A-B\|^{2}=\|A\|^{2}+\|B\|^{2}-2\|A\|\|B\|\cos\theta.

Passo 2

Vou relembrar e explicar com calma as definições que vou usar (cada símbolo bem explicado):
  • Produto interno (produto escalar) em \mathbb{R}^{n}: se A=(a_{1},\dots,a_{n}) e B=(b_{1},\dots,b_{n}), define-se
A\cdot B = \sum_{i=1}^{n} a_{i}b_{i}.
Esse produto é um número real que mede, entre outras coisas, a “projeção” entre vetores. Ele é comutativo: A\cdot B = B\cdot A.
  • Norma de um vetor A: a norma (comprimento) é definida a partir do produto interno como
\|A\| = \sqrt{A\cdot A}.
Portanto, em particular,
\|A\|^{2} = A\cdot A.
Aqui \|A\| é um número não negativo que representa o comprimento de A.
  • Definição do cosseno do ângulo entre A e B: quando \|A\|\neq 0 e \|B\|\neq 0, o cosseno do ângulo \theta entre A e B é dado por
\cos\theta = \frac{A\cdot B}{\|A\|\|B\|}.
Isto é, A\cdot B = \|A\|\|B\|\cos\theta. Se algum dos vetores for o vetor nulo ( \|A\|=0 ou \|B\|=0), o ângulo não é relevante, mas a identidade final abaixo continuará a ser verdadeira (ver passo específico).

Passo 3

Calculemos a norma ao quadrado de (A-B) usando o produto interno. Pela definição de norma,
\|A-B\|^{2} = (A-B)\cdot(A-B).
Agora vou desenvolver (expandir) esse produto escalar; isso é justo usar a distributividade do produto interno.

Passo 4

Expandindo o produto escalar:
(A-B)\cdot(A-B) = A\cdot A - A\cdot B - B\cdot A + B\cdot B.
Como o produto escalar é comutativo ( A\cdot B = B\cdot A), isso simplifica para
(A-B)\cdot(A-B) = A\cdot A - 2\,A\cdot B + B\cdot B.

Passo 5

Usando \|A\|^{2}=A\cdot A e \|B\|^{2}=B\cdot B, reescreve-se a expressão anterior como
\|A-B\|^{2} = \|A\|^{2} + \|B\|^{2} - 2\,A\cdot B.
Esta é uma identidade algebraica simples que já reduz o problema a relacionar A\cdot B com \|A\|, \|B\| e \cos\theta.

Passo 6

Agora substituímos a relação entre o produto escalar e o cosseno do ângulo (quando \|A\|\neq0 e \|B\|\neq0):
A\cdot B = \|A\|\|B\|\cos\theta.
Colocando isso na fórmula do passo anterior obtém-se exatamente
\|A-B\|^{2} = \|A\|^{2} + \|B\|^{2} - 2\|A\|\|B\|\cos\theta,
que é a identidade que queríamos provar.

Passo 7

Resta tratar o caso em que \|A\|=0 ou \|B\|=0. Suponha, por exemplo, B=0. Então:
  • O lado esquerdo é \|A-B\|^{2}=\|A-0\|^{2}=\|A\|^{2}.
  • O lado direito é \|A\|^{2}+\|B\|^{2}-2\|A\|\|B\|\cos\theta=\|A\|^{2}+0-2\|A\|\cdot 0\cdot\cos\theta=\|A\|^{2}.
    Assim a identidade continua válida mesmo que o ângulo não esteja bem definido. O mesmo argumento vale se A=0. Logo a fórmula vale em todos os casos.

Passo 8

Um exemplo rápido para fixar: em \mathbb{R}^{2}, tome A=(1,0) e B=(0,1). Então \|A\|=\|B\|=1, \theta=\tfrac{\pi}{2} e \cos\theta=0. Calculando,
\|A-B\|^{2}=\|(1,0)-(0,1)\|^{2}=\|(1,-1)\|^{2}=1^{2}+(-1)^{2}=2,
e pela fórmula do enunciado
\|A\|^{2}+\|B\|^{2}-2\|A\|\|B\|\cos\theta = 1+1-2\cdot1\cdot1\cdot 0 = 2,
confere certinho.

Resposta

\|A-B\|^{2}=\|A\|^{2}+\|B\|^{2}-2\|A\|\|B\|\cos\theta

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