Se
é o ângulo entre os vetores
, prove que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Temos dois vetores
. - Denota-se por
o ângulo entre esses vetores.
O que precisamos provar é a identidade
Passo 2
Vou relembrar e explicar com calma as definições que vou usar (cada símbolo bem explicado):
- Produto interno (produto escalar) em
: se e , define-se
Esse produto é um número real que mede, entre outras coisas, a “projeção” entre vetores. Ele é comutativo:
.
- Norma de um vetor
: a norma (comprimento) é definida a partir do produto interno como
Portanto, em particular,
Aqui
é um número não negativo que representa o comprimento de
.
- Definição do cosseno do ângulo entre
e : quando e , o cosseno do ângulo entre e é dado por
Isto é,
. Se algum dos vetores for o vetor nulo (
ou
), o ângulo não é relevante, mas a identidade final abaixo continuará a ser verdadeira (ver passo específico).
Passo 3
Calculemos a norma ao quadrado de
usando o produto interno. Pela definição de norma,
Agora vou desenvolver (expandir) esse produto escalar; isso é justo usar a distributividade do produto interno.
Passo 4
Expandindo o produto escalar:
Como o produto escalar é comutativo (
), isso simplifica para
Passo 5
Usando
e
, reescreve-se a expressão anterior como
Esta é uma identidade algebraica simples que já reduz o problema a relacionar
com
,
e
.
Passo 6
Agora substituímos a relação entre o produto escalar e o cosseno do ângulo (quando
e
):
Colocando isso na fórmula do passo anterior obtém-se exatamente
que é a identidade que queríamos provar.
Passo 7
Resta tratar o caso em que
ou
. Suponha, por exemplo,
. Então:
- O lado esquerdo é
. - O lado direito é
.
Assim a identidade continua válida mesmo que o ângulo não esteja bem definido. O mesmo argumento vale se. Logo a fórmula vale em todos os casos.
Passo 8
Um exemplo rápido para fixar: em
, tome
e
. Então
,
e
. Calculando,
e pela fórmula do enunciado
confere certinho.