Seja
um operador diferencial linear em
com coeficientes constantes. Prove que:
b)
, para toda
e
tal que ou
ou
tem suporte compacto.
b)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para o operador diferencial de coeficientes constantes
e para duas distribuições em que pelo menos uma tem suporte compacto, vale
Para isso vamos usar a definição de convolução de distribuições e o procedimento de integração por partes para mover as derivadas de um fator para o outro.
Passo 2
Se tem suporte compacto e é arbitrária, define-se a convolução por
Passo 3
Tomemos primeiro um monômio
. Pela definição de derivada de distribuição temos
Passo 4
Note que
pois a derivada em
de
é a mesma. Logo, fazemos integração por partes no parêntese externo em relação a
:
Substituindo de volta, obtemos
isto é
Passo 5
De modo análogo, escrevemos
e integramos por partes no parêntese interno em relação a
. Isso dá
e, seguindo o mesmo raciocínio, chega-se a
Passo 6
Finalmente, como
é combinação linear dos
, somamos as igualdades dos passos anteriores para concluir
e igualmente