Seja P(D)=sum|alpha| <= m aalpha D^alpha um operador diferencial linear em R^n com coeficientes constantes. Prove que:
b) P(D)(u * v)=(P(D) u) * v=u *(P(D) v), para toda u e v in D^prime(R^n) tal que ou u ou v tem suporte compacto.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para o operador diferencial de coeficientes constantes
e para duas distribuições em que pelo menos uma tem suporte compacto, vale
Para isso vamos usar a definição de convolução de distribuições e o procedimento de integração por partes para mover as derivadas de um fator para o outro.

Passo 2

Se tem suporte compacto e é arbitrária, define-se a convolução por

Passo 3

Tomemos primeiro um monômio D^alpha. Pela definição de derivada de distribuição temos
llang<= D^alpha(u*v),varphirrang<= = (-1)^|alpha|llang<= u*v,,D^alphavarphirrang<= = (-1)^|alpha|llang<= u(x),,lang<= v(y),,D^alphavarphi(x+y)rang<=rrang<=

Passo 4

Note que
D^alphavarphi(x+y) = Dx^alphavarphi(x+y),
pois a derivada em x de varphi(x+y) é a mesma. Logo, fazemos integração por partes no parêntese externo em relação a x:
llang<= u(x),,lang<= v(y),,Dx^alphavarphi(x+y)rang<=rrang<= = (-1)^|alpha|llang<= Dx^alpha u(x),,lang<= v(y),,varphi(x+y)rang<=rrang<=
Substituindo de volta, obtemos
llang<= D^alpha(u*v),varphirrang<= = llang<= (D^alpha u)*v,varphirrang<=,
isto é
D^alpha(u*v)=(D^alpha u)*v

Passo 5

De modo análogo, escrevemos
D^alphavarphi(x+y)=Dy^alphavarphi(x+y)
e integramos por partes no parêntese interno em relação a y. Isso dá
llang<= u(x),,lang<= v(y),,Dy^alphavarphi(x+y)rang<=rrang<= = (-1)^|alpha|llang<= u(x),,lang<= D^alpha v(y),,varphi(x+y)rang<=rrang<=
e, seguindo o mesmo raciocínio, chega-se a
D^alpha(u*v)=u*(D^alpha v)

Passo 6

Finalmente, como
P(D)=sum|alpha|<= maalpha D^alpha
é combinação linear dos D^alpha, somamos as igualdades dos passos anteriores para concluir
P(D)(u*v) =sum|alpha|<= maalpha,D^alpha(u*v) =sum|alpha|<= maalpha,(D^alpha u)*v =(P(D)u)*v
e igualmente
P(D)(u*v) =u*(P(D)v)

Resposta

P(D)(u*v) ;=; (P(D)u)*v ;=; u*(P(D)v)

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