Seja
um operador diferencial linear em
com coeficientes constantes. Prove que:
a)
, para toda
.
a)
Passo 1
O enunciado define o operador diferencial de coeficientes constantes
em
, e pede para provar que, como operador em distribuições, vale
para todo
. Vamos usar as propriedades de convolução de distribuições e de derivação de distribuições.
Passo 2
Lembremos que a delta de Dirac
tem suporte compacto e satisfaz
para toda
. Dessa forma podemos escrever
Passo 3
Usamos agora o fato geral: se
(distribuição de suporte compacto) e
, então para todo multi-índice
vale
A demonstração faz-se testando em
e integrando por partes no sentido de distribuições:
Passo 4
Como
é combinação linear de derivadas, aplicamos o resultado do passo anterior a cada termo:
Passo 5
Juntando com
, concluímos
que era o que se pedia.