Seja P(D)=sum|alpha| <= m aalpha D^alpha um operador diferencial linear em R^n com coeficientes constantes. Prove que:
a) P(D) u=(P(D) de<a) * u, para toda u in D^prime(R).

Passo 1

O enunciado define o operador diferencial de coeficientes constantes
P(D)=sum|alpha|<= maalpha,D^alpha
em R^n, e pede para provar que, como operador em distribuições, vale
P(D)u ;=;l(P(D),de<ar)*u
para todo uinD^prime(R^n). Vamos usar as propriedades de convolução de distribuições e de derivação de distribuições.

Passo 2

Lembremos que a delta de Dirac de<a tem suporte compacto e satisfaz
de<a*u ;=;u
para toda uinD^prime(R^n). Dessa forma podemos escrever
P(D)u ;=;P(D)l(de<a*ur)

Passo 3

Usamos agora o fato geral: se TinE'(R^n) (distribuição de suporte compacto) e uinD'(R^n), então para todo multi-índice alpha vale
D^alpha(T*u);=;(D^alphaT)*u
A demonstração faz-se testando em varphiinD(R^n) e integrando por partes no sentido de distribuições:
lang<= D^alpha(T*u),varphirang<= =(-1)^|alpha|lang<= T*u,D^alphavarphirang<= =lang<=(D^alphaT)*u,varphirang<=

Passo 4

Como P(D) é combinação linear de derivadas, aplicamos o resultado do passo anterior a cada termo:
P(D)l(de<a*ur) =sum|alpha|<= maalpha,D^alpha(de<a*u) =sum|alpha|<= maalpha,l(D^alphade<ar)*u =l(P(D),de<ar)*u

Passo 5

Juntando com de<a*u=u, concluímos
P(D)u =P(D)l(de<a*ur) =l(P(D),de<ar)*u,
que era o que se pedia.

Resposta

P(D)u ;=;l(P(D),de<ar)*u, forall,uinD^prime(R^n)

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