Exercício 10. (D.K. ex. 11.12) Seja o subespaço de que consiste de finitas combinações lineares de deltas de Dirac .
a) Prove que para toda função contínua em existe uma sequência em tal que em . (Dica: Para , escreva como o limite de somas de Riemann)
b) Prove, agora, que para toda distribuição , existe uma sequência em tal que .
Passo 1
O enunciado trata do subespaço
em .
a) Queremos mostrar que toda função contínua , vista como distribuição via
pode ser aproximada em por uma sequência .
b) Em seguida, usando (a), mostraremos que toda distribuição pode ser aproximada por elementos de .
Passo 2
Fixe contínua e seja . Como tem suporte compacto, existe um cubo que o contém. Então
Construiremos somas de Riemann que convergem a essa integral.
Passo 3
Para cada particione em subcubos de diâmetro máximo quando . Em cada subcubo escolha um ponto e defina
a) Constrói-se uj=sum f(xk^(j))|Qk^(j)|;de<axk^(j) cujas ações são somas de Riemann que convergem a integral f,phi.
b) Primeiramente convolui-se u com um molificador para obter unin C^infty, depois aproxima-se cada un por elementos de E (pela parte (a)) e usa-se um argumento diagonal para obter uma sequência em E que converge a u.