Exercício 10. (D.K. ex. 11.12) Seja E o subespaço de D^prime(R^n) que consiste de finitas combinações lineares de deltas de Dirac de<ax, x in R^n.
a) Prove que para toda função contínua f em R^n existe uma sequência (uj)j in N em E tal que lim j infty uj=f em D^prime(R^n). (Dica: Para phi in Cc^infty(R), escreva f(phi) como o limite de somas de Riemann)
b) Prove, agora, que para toda distribuição u in D^prime(R^n), existe uma sequência (uj)j in N em E tal que lim j infty uj= u em D^prime(R^n).

Passo 1

O enunciado trata do subespaço
E=lcombinações lineares finitas de de<ax,,xinR^nr çõ
em D'(R^n).
a) Queremos mostrar que toda função contínua fcolonR^ntoR, vista como distribuição Tf via
Tf(phi)=integralR^nf(x),phi(x), d x,
pode ser aproximada em D' por uma sequência ujsubset E.
b) Em seguida, usando (a), mostraremos que toda distribuição uin D'(R^n) pode ser aproximada por elementos de E.

Passo 2

Fixe f contínua e seja phiin Cc^infty(R^n). Como phi tem suporte compacto, existe um cubo QsubsetR^n que o contém. Então
Tf(phi)=integralQf(x),phi(x), d x
Construiremos somas de Riemann que convergem a essa integral.

Passo 3

Para cada jinN particione Q em Nj subcubos Qk^(j) de diâmetro máximo to0 quando jtoinfty. Em cada subcubo escolha um ponto xk^(j) e defina
uj ;=; sumk=1^Nj fl(xk^(j)r),l|Qk^(j)r|;de<a,xk^(j),
onde l|Qk^(j)r| é o volume de Qk^(j).

Passo 4

A ação de uj em phi é
uj(phi) =sumk=1^Njfl(xk^(j)r),l|Qk^(j)r|;phil(xk^(j)r),
que não é mais que a soma de Riemann que aproxima
integralQ f(x),phi(x), d x
Como f,phi é contínua em Q, essas somas convergem para a integral quando o diâmetro dos cubos vai a zero. Logo
limjtoinftyuj(phi) =integralQ f(x),phi(x), d x = Tf(phi)

Passo 5

O argumento acima vale para todo phiin Cc^infty(R^n). Isso mostra que ujto Tf em D'(R^n). Assim concluímos a parte (a).

Passo 6

Agora seja uinD'(R^n) qualquer. Escolha um molificador padrão rho>=0, integralrho=1, e defina
un = u * rho1/n,
onde rho1/n(x)=n^n,rho(n x). Sabe-se que unin C^infty(R^n) e
un ;xrightarrow[ntoinfty]; u
em D'.

Passo 7

Para cada n, aplique a parte (a) a f=un. Obtemos uma sequência vn,kksubset E tal que
limktoinftyvn,k ;=; Tun em D'
Em particular, escolha para cada n um índice k(n) tal que
l|vn,k(n) - Tunr| D' < 1n
Defina então
wn = vn,k(n)in E

Passo 8

Finalmente, usando a desigualdade triangular em D', obtemos
l|wn - ur| <= l|wn - Tunr| + l|Tun - ur| <1n + l|Tun-ur|
Como |Tun-u|to0, segue que wnto u em D'(R^n).

Resposta

a) Constrói-se uj=sum f(xk^(j))|Qk^(j)|;de<axk^(j) cujas ações são somas de Riemann que convergem a integral f,phi.
b) Primeiramente convolui-se u com um molificador para obter unin C^infty, depois aproxima-se cada un por elementos de E (pela parte (a)) e usa-se um argumento diagonal para obter uma sequência em E que converge a u.

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