Seja
uma funçāo de probabilidade em
. Encontre
, se
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- O espaço amostral é
. -
é uma função de probabilidade em . - Foi dada a relação
.
A pergunta é: encontrar.
Passo 2
Relembrando propriedades básicas de uma função de probabilidade em um espaço finito (coisa importante para a prova):
- Todas as probabilidades são não-negativas: para todo
, . - A normalização: a soma das probabilidades de todos os pontos do espaço é
. Como tem três pontos, vale
Expliquei isso porque é a regra principal que vamos usar.
Passo 3
Entender a notação
: trata-se da probabilidade do evento formado pelos dois pontos
e
. Como
e
são eventos disjuntos (não têm interseção), podemos somar probabilidades:
Isso é uma propriedade simples: a probabilidade da união de eventos disjuntos é a soma das probabilidades.
Passo 4
Agora uso a relação dada pelo enunciado. Pegando o que escrevemos:
Substituo isso na equação de normalização
. Assim:
Passo 5
Somando os termos semelhantes obtemos uma equação simples:
Agora resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Verificação rápida: então
, e a soma
bate com a normalização; além disso todas as probabilidades são não-negativas, portanto é consistente.