Seja P uma funçāo de probabilidade em S=\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3}\right\}. Encontre P\left(a_{1}\right), se
P\left(\left|a_{2}, a_{3}\right|\right)=2 P\left(a_{1}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • O espaço amostral é S=\{a_{1},a_{2},a_{3}\}.
  • P é uma função de probabilidade em S.
  • Foi dada a relação P\big(\{a_{2},a_{3}\}\big)=2\,P(a_{1}).
    A pergunta é: encontrar P(a_{1}).

Passo 2

Relembrando propriedades básicas de uma função de probabilidade em um espaço finito (coisa importante para a prova):
  • Todas as probabilidades são não-negativas: para todo i, P(a_{i})\ge 0.
  • A normalização: a soma das probabilidades de todos os pontos do espaço é 1. Como S tem três pontos, vale
P(a_{1})+P(a_{2})+P(a_{3})=1.
Expliquei isso porque é a regra principal que vamos usar.

Passo 3

Entender a notação P\big(\{a_{2},a_{3}\}\big): trata-se da probabilidade do evento formado pelos dois pontos a_{2} e a_{3}. Como \{a_{2}\} e \{a_{3}\} são eventos disjuntos (não têm interseção), podemos somar probabilidades:
P\big(\{a_{2},a_{3}\}\big)=P(a_{2})+P(a_{3}).
Isso é uma propriedade simples: a probabilidade da união de eventos disjuntos é a soma das probabilidades.

Passo 4

Agora uso a relação dada pelo enunciado. Pegando o que escrevemos:
P(a_{2})+P(a_{3})=2\,P(a_{1}).
Substituo isso na equação de normalização P(a_{1})+P(a_{2})+P(a_{3})=1. Assim:
P(a_{1}) + \big(P(a_{2})+P(a_{3})\big)=1
P(a_{1}) + 2\,P(a_{1}) = 1.

Passo 5

Somando os termos semelhantes obtemos uma equação simples:
3\,P(a_{1})=1.
Agora resolvemos para P(a_{1}) dividindo ambos os lados por 3:
P(a_{1})=\frac{1}{3}.
Verificação rápida: então P(a_{2})+P(a_{3})=2\,P(a_{1})= \tfrac{2}{3}, e a soma \tfrac{1}{3}+\tfrac{2}{3}=1 bate com a normalização; além disso todas as probabilidades são não-negativas, portanto é consistente.

Resposta

\displaystyle P(a_{1})=\tfrac{1}{3}

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