Seja P uma funçāo de probabilidade em S=\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3}\right\}. Encontre P\left(a_{1}\right), se
P\left(a_{3}\right)=2 P\left(a_{2}\right) e P\left(a_{2}\right)=3 P\left(a_{1}\right).

Passo 1

O enunciado pede encontrar P(a_{1}) dado que P é uma função de probabilidade em S=\{a_{1},a_{2},a_{3}\} e que valem as relações
P(a_{3})=2P(a_{2})
e
P(a_{2})=3P(a_{1}).
Informações relevantes listadas:
  • As probabilidades são não-negativas: P(a_i)\ge 0 para i=1,2,3.
  • A soma das probabilidades dos elementos do espaço amostral vale 1:
P(a_{1})+P(a_{2})+P(a_{3})=1.

Passo 2

Vamos simplificar a notação. Seja
p_1 := P(a_{1}),\quad p_2 := P(a_{2}),\quad p_3 := P(a_{3}).
Aqui cada p_i representa a probabilidade do evento a_i. Nosso objetivo é achar p_1.

Passo 3

Usando as relações dadas, escrevemos p_2 e p_3 em função de p_1. A segunda relação diz
p_2 = 3p_1.
A primeira relação diz p_3 = 2p_2. Substituindo p_2 em função de p_1,
p_3 = 2(3p_1)=6p_1.

Passo 4

Agora aplicamos a condição de normalização ( p_1+p_2+p_3=1). Substituindo p_2 e p_3 em termos de p_1,
p_1 + 3p_1 + 6p_1 = 1.
Somando os coeficientes do lado esquerdo:
10p_1 = 1.
Para isolar p_1, dividimos ambos os lados por 10:
p_1 = \frac{1}{10}.

Passo 5

Verificação rápida: com p_1=\dfrac{1}{10} temos
p_2 = 3p_1 = \frac{3}{10},\qquad p_3 = 6p_1 = \frac{6}{10}.
E a soma é \dfrac{1}{10}+\dfrac{3}{10}+\dfrac{6}{10}=1, tudo coerente e não-negativo. Boa — achamos uma solução válida.

Resposta

\displaystyle P(a_{1})=\frac{1}{10}

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