Seja p \in \mathbb{R} e A=\left(\begin{array}{cc}1-p & p \\\ p & 1-p\end{array}\right). Determine p tal que A possua um único autovalor real, isto é, \lambda_{1}=\lambda_{2} \mathrm{em} \mathbb{R}, e determine este autovalor.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 - p & p \\\ p & 1 - p \end{pmatrix}
com p\in\mathbb{R}, e pede o valor de p para que A tenha autovalor duplo real (isto é, \lambda_1=\lambda_2) e qual é esse valor. Usaremos o polinômio característico de uma matriz 2\times2 e o discriminante.

Passo 2

O polinômio característico de A é
\det(A - \lambda I) = \lambda^2 - \bigl(\operatorname{tr}A\bigr)\,\lambda + \det A = 0,
onde
\operatorname{tr}A = (1-p)+(1-p)=2-2p \quad\text{e}\quad \det A = (1-p)^2 - p^2 = 1 -2p.
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\lambda^2 - (2-2p)\,\lambda + (1-2p)=0.

Passo 3

O discriminante desse polinômio é
\Delta = (2-2p)^2 - 4\,(1-2p) =4(1-p)^2 -4(1-2p) =4\bigl[(1-p)^2 - (1-2p)\bigr] =4p^2.

Passo 4

Para ter raiz dupla real, precisamos de \Delta=0. Assim
4p^2=0 \quad\Longrightarrow\quad p=0.

Passo 5

Com p=0, o traço é \operatorname{tr}A=2 e o autovalor duplo vale
\lambda = \frac{\operatorname{tr}A}{2} = \frac{2}{2} = 1.

Resposta

p=0 e o autovalor duplo é \lambda=1.

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