Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma transformação linear definida por T(x, y, z)=(x+z, y, y+x). Verifique se o subespaço W=\left\{(x, 0, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x, z \in \mathbb{R}\right\} é invariante por T.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3},\quad T(x,y,z)=(x+z,\;y,\;y+x)
e o subespaço
W=\{(x,0,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x,z\in\mathbb{R}\}.
Para mostrar que W é invariante por T, precisamos verificar que para todo v\in W vale T(v)\in W.

Passo 2

Tomemos um vetor genérico de W:
v=(x,0,z).

Passo 3

Calculamos a imagem de v por T:
T(v)=T(x,0,z)=(x+z,\;0,\;x).

Passo 4

Observamos que T(v)=(x+z,0,x) tem segunda componente igual a zero. Portanto T(v) também está em W. Isso mostra que
T(W)\subseteq W,
ou seja, W é invariante por T.

Resposta

Sim, W é invariante por T.

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