Seja T: V \rightarrow V um operador linear tal que T^{2}=T. Prove que:
a) Se \lambda é autovalor de T, então \lambda=1 ou \lambda=0.
b) Todo vetor v \in V pode ser expresso por v=v_{1}+v_{2}, onde v_{1} \in A u t_{T}(1) e v_{2} \in A u t_{T}(0).

Passo 1

O enunciado diz que T\colon V\to V é um operador linear idempotente, pois satisfaz
T^2 = T.
O conteúdo envolvido é teoria de autovalores de operadores lineares e decomposição de vetores segundo espaços próprios. Vamos usar o fato de que, se v\neq0 e T(v)=\lambda v, então também T^2(v)=\lambda^2v, e em seguida construir, para cada v\in V, uma escrita v=v_1+v_2 com T(v_1)=v_1 e T(v_2)=0.

Passo 2

Suponha que \lambda é autovalor de T e v\neq0 seja um autovetor associado, ou seja
T(v)=\lambda v.
Aplicando T novamente em ambos os lados, obtemos
T^2(v)=T\bigl(T(v)\bigr)=T(\lambda v)=\lambda\,T(v)=\lambda^2v.
Por outro lado, como T^2=T, temos T^2(v)=T(v)=\lambda v. Logo
\lambda^2v = \lambda v,
e como v\neq0 podemos cancelar v, ficando
\lambda^2=\lambda \quad\Longrightarrow\quad \lambda(\lambda-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=0\text{ ou }\lambda=1.

Passo 3

Agora provamos a decomposição de qualquer v\in V. Defina
v_1 = T(v), \qquad v_2 = v - T(v).
Então
T(v_1)=T\bigl(T(v)\bigr)=T^2(v)=T(v)=v_1,
isto é, v_1 é autovetor de autovalor 1, e
T(v_2)=T\bigl(v - T(v)\bigr)=T(v) - T^2(v)=T(v)-T(v)=0,
logo v_2 é autovetor de autovalor 0. Além disso
v_1 + v_2 = T(v) + \bigl(v - T(v)\bigr) = v,
como desejado.

Resposta

a) Os únicos autovalores possíveis são \lambda=0 e \lambda=1.
b) Dado v\in V, basta tomar v_1=T(v)\in\mathrm{Aut}_T(1) e v_2=v-T(v)\in\mathrm{Aut}_T(0), e então v=v_1+v_2.

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