Seja
um operador linear tal que
. Prove que:
a) Se
é autovalor de
, então
ou
.
b) Todo vetor
pode ser expresso por
, onde
e
.
a) Se
b) Todo vetor
Passo 1
O enunciado diz que
é um operador linear idempotente, pois satisfaz
O conteúdo envolvido é teoria de autovalores de operadores lineares e decomposição de vetores segundo espaços próprios. Vamos usar o fato de que, se
e
, então também
, e em seguida construir, para cada
, uma escrita
com
e
.
Passo 2
Suponha que
é autovalor de
e
seja um autovetor associado, ou seja
Aplicando
novamente em ambos os lados, obtemos
Por outro lado, como
, temos
. Logo
e como
podemos cancelar
, ficando
Passo 3
Agora provamos a decomposição de qualquer
. Defina
Então
isto é,
é autovetor de autovalor
, e
logo
é autovetor de autovalor
. Além disso
como desejado.
Resposta
a) Os únicos autovalores possíveis são
e
.
b) Dado , basta tomar
e
, e então
.
b) Dado