Precisamos encontrar o polinômio minimalm(x) de A. Sabemos que m(x) deve dividir p(x) e ter a forma
m(x)=(x+1)^{a}(x-3)^{b},
onde 1\le a\le2 e 1\le b\le1.
Passo 2
Para o fator (x-3) a multiplicidade algébrica é 1, logo necessariamente b=1. Resta determinar o expoente a em (x+1)^{a}. Se a parte correspondente a \lambda=-1 for diagonalizável, então a=1; caso contrário, a=2.
Passo 3
Calculemos a multiplicidade geométrica de \lambda=-1\), isto é, a dimensão do espaço nulo de \(A+I\).
\[A+I=\begin{pmatrix} -1+1 & 1 & 1\\\\ 0 & -1+1 & 0\\\\ 0 & 1 & 3+1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}.
Buscamos \mathbf{v}=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T} tal que (A+I)\mathbf{v}=\mathbf{0}. As equações são
Da segunda: x_{2}=-4x_{3}\]. Substituindo na primeira: \(-4x_{3}+x_{3}=0\implies -3x_{3}=0\implies x_{3}=0, então x_{2}=0. O único grau de liberdade fica em x_{1}. Logo a dimensão do autovetor associado a -1 é 1.
Passo 4
Como a multiplicidade geométrica de \lambda=-1 (que vale 1) é menor que sua multiplicidade algébrica (que é 2), o bloco de Jordan para \lambda=-1 tem tamanho 2 e, portanto, no polinômio minimal o expoente de (x+1) deve ser a=2.