Seja p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} um polinômio não constante, isto é, para todo x \in \mathbb{R},
p(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots+a_{n} x^{n} \operatorname{com} a_{n} \neq 0 e n \geq 1. Prove que:
Se n for par e a_{n}>0, então, \lim _{x \rightarrow+\infty} p(x)=+\infty e \lim _{x \rightarrow-\infty} p(x)=+\infty.

Passo 1

O enunciado nos dá um polinômio não constante
p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots+a_{n}x^{n},
com a_{n}\neq0 e n\ge1. A hipótese adicional que vamos assumir nesta prova é que n é par e a_{n}>0.
O que o problema pede:
  • Mostrar que \displaystyle\lim_{x\to+\infty}p(x)=+\infty.
  • Mostrar que \displaystyle\lim_{x\to-\infty}p(x)=+\infty.
Vou provar isso de forma didática, passo a passo, explicando por que o termo de maior grau domina o comportamento do polinômio quando |x| fica grande.

Passo 2

Fatorar o termo de maior grau é uma técnica padrão. Escrevemos
p(x)=x^{n}\left(a_{n}+\frac{a_{n-1}}{x}+\frac{a_{n-2}}{x^{2}}+\cdots+\frac{a_{0}}{x^{n}}\right).
Definimos a função
q(x):=a_{n}+\frac{a_{n-1}}{x}+\frac{a_{n-2}}{x^{2}}+\cdots+\frac{a_{0}}{x^{n}}.
Assim p(x)=x^{n}q(x). A ideia é estudar separadamente o comportamento de x^{n} e de q(x) quando x\to\pm\infty.

Passo 3

Mostrar que q(x)\to a_{n} quando x\to\pm\infty.
Para cada k com 0\le k\le n-1 temos
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{a_{k}}{x^{\,n-k}}=a_{k}\cdot\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x^{\,n-k}}=a_{k}\cdot 0=0,
porque n-k\ge1 e, portanto, \lim_{x\to\pm\infty}1/x^{\,n-k}=0. Como q(x) é a soma finita de a_{n} com esses termos que tendem a 0, pela propriedade de limites de somas temos
\lim_{x\to\pm\infty}q(x)=a_{n}.
Em palavras: os termos de ordem inferior são desprezíveis comparados a x^{n} quando |x| cresce, então q(x) aproxima-se do coeficiente líder a_{n}.

Passo 4

Analise do fator x^{n} quando n é par.
Se n é par então x^{n}=(|x|)^{n}. Logo, tanto para x\to+\infty quanto para x\to-\infty vale
\lim_{x\to+\infty}x^{n}=+\infty\qquad\text{e}\qquad\lim_{x\to-\infty}x^{n}=+\infty.
Em palavras: potências de expoente par tornam-se grandes e positivas em ambas as direções, porque o sinal negativo desaparece ao elevar ao expoente par.

Passo 5

Combinar os dois fatos: p(x)=x^{n}q(x), \lim q(x)=a_{n} e x^{n}\to+\infty.
Como \lim_{x\to\pm\infty}q(x)=a_{n} e \,a_{n}>0, existe M>0 tal que para todo |x|>M vale
q(x)> \frac{a_{n}}{2}>0.
(Isto vem da definição de limite: escolher M tal que |q(x)-a_{n}|<a_{n}/2.)
Para |x|>M obtemos então
p(x)=x^{n}q(x) \ge x^{n}\cdot\frac{a_{n}}{2}.
Como, para |x|\to\infty, x^{n}\to+\infty, o produto x^{n}\cdot\frac{a_{n}}{2} tende a +\infty. Portanto p(x)\to+\infty quando |x|\to\infty. Escrevendo separadamente as direções:
  • Para x\to+\infty: p(x)\ge \dfrac{a_{n}}{2}\,x^{n}\to+\infty, logo \lim_{x\to+\infty}p(x)=+\infty.
  • Para x\to-\infty: como n é par, x^{n} também tende a +\infty quando x\to-\infty; com a mesma desigualdade obtemos \lim_{x\to-\infty}p(x)=+\infty.

Passo 6

Resumo intuitivo (pequena intuição prática): em valores grandes de |x| o termo a_{n}x^{n} domina o polinômio. Se n é par esse termo é positivo tanto para x positivo quanto para x negativo; se além disso a_{n}>0, esse termo dominante cresce para +\infty em ambas as direções, e os termos de ordem menor não conseguem contradizer esse crescimento.

Resposta

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}p(x)=+\infty
\displaystyle\lim_{x\to-\infty}p(x)=+\infty

Exercícios relacionados