Seja
um polinômio não constante, isto é, para todo
,
e
. Prove que:
Se
for par e
, então,
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá um polinômio não constante
com
e
. A hipótese adicional que vamos assumir nesta prova é que
é par e
.
O que o problema pede:
- Mostrar que
. - Mostrar que
.
Vou provar isso de forma didática, passo a passo, explicando por que o termo de maior grau domina o comportamento do polinômio quando
fica grande.
Passo 2
Fatorar o termo de maior grau é uma técnica padrão. Escrevemos
Definimos a função
Assim
. A ideia é estudar separadamente o comportamento de
e de
quando
.
Passo 3
Mostrar que
quando
.
Para cada
com
temos
porque
e, portanto,
. Como
é a soma finita de
com esses termos que tendem a
, pela propriedade de limites de somas temos
Em palavras: os termos de ordem inferior são desprezíveis comparados a
quando
cresce, então
aproxima-se do coeficiente líder
.
Passo 4
Analise do fator
quando
é par.
Se
é par então
. Logo, tanto para
quanto para
vale
Em palavras: potências de expoente par tornam-se grandes e positivas em ambas as direções, porque o sinal negativo desaparece ao elevar ao expoente par.
Passo 5
Combinar os dois fatos:
,
e
.
Como
e
, existe
tal que para todo
vale
(Isto vem da definição de limite: escolher
tal que
.)
Para
obtemos então
Como, para
,
, o produto
tende a
. Portanto
quando
. Escrevendo separadamente as direções:
- Para
: , logo . - Para
: como é par, também tende a quando ; com a mesma desigualdade obtemos .
Passo 6
Resumo intuitivo (pequena intuição prática): em valores grandes de
o termo
domina o polinômio. Se
é par esse termo é positivo tanto para
positivo quanto para
negativo; se além disso
, esse termo dominante cresce para
em ambas as direções, e os termos de ordem menor não conseguem contradizer esse crescimento.