Utilize o Polinômio de Taylor de ordem
para aproximar os valores abaixo. Depois use a Fórmula de Taylor para estimar o erro cometido com sua aproximação e com isso obtenha o número de casas decimais exatas da aproximação. Por último, calcule o valor exato (use uma calculadora) e compare com as estimativas anteriores:
(a)
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para aproximar
(a) usando o polinômio de Taylor de ordem
em torno de
,
(b) usando o polinômio de Taylor de ordem
em torno de
.
Em cada caso vamos
(a)
(b)
Em cada caso vamos
- escrever o polinômio de Maclaurin até a ordem indicada;
- estimar o resto pela fórmula de Taylor e inferir o número de casas decimais exatas;
- calcular o valor numérico “exato” (na calculadora) e comparar com a aproximação.
Passo 2
Para
em torno de
temos a série
Truncando em ordem
(isto é, até o termo
, mas note que só há termos pares), o polinômio é
Logo, para
,
Passo 3
O resto de Taylor de ordem
é
para algum
. Aqui
e
, então
Como
, garantimos 5 casas decimais exatas.
Passo 4
Na calculadora
. A diferença para
é
compatível com o nosso limite
.
Passo 5
Para
em torno de
temos
Truncando em ordem
, o polinômio é
Para
,
Passo 6
O resto de ordem
é
para algum
. Como
,
De novo
, logo 5 casas decimais exatas.
Passo 7
Na calculadora
. A diferença para
é
compatível com o nosso limite
.
Resposta
(a)
, erro
, 5 casas decimais exatas. Valor exato
.
(b) , erro
, 5 casas decimais exatas. Valor exato
.
(b)