Utilize o Polinômio de Taylor de ordem n para aproximar os valores abaixo. Depois use a Fórmula de Taylor para estimar o erro cometido com sua aproximação e com isso obtenha o número de casas decimais exatas da aproximação. Por último, calcule o valor exato (use uma calculadora) e compare com as estimativas anteriores:
(a) \cos (1 / 3), n=5
(b) \sqrt{e}=e^{1 / 2}, n=6.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
(a) \cos(1/3) usando o polinômio de Taylor de ordem n=5 em torno de 0,
(b) \sqrt{e}=e^{1/2} usando o polinômio de Taylor de ordem n=6 em torno de 0.
Em cada caso vamos
  1. escrever o polinômio de Maclaurin até a ordem indicada;
  2. estimar o resto pela fórmula de Taylor e inferir o número de casas decimais exatas;
  3. calcular o valor numérico “exato” (na calculadora) e comparar com a aproximação.

Passo 2

Para \cos(x) em torno de 0 temos a série
\cos(x)=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}.
Truncando em ordem 5 (isto é, até o termo x^5, mas note que só há termos pares), o polinômio é
T_5(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}.
Logo, para x=1/3,
T_5\bigl(\tfrac13\bigr) =1-\frac{(1/3)^2}{2}+\frac{(1/3)^4}{24} =1-\frac{1}{18}+\frac{1}{1944} \approx0{,}944958\,.

Passo 3

O resto de Taylor de ordem 5 é
R_5(x)=\frac{f^{(6)}(\xi)}{6!}x^6
para algum \xi\in[0,x]. Aqui f^{(6)}(x)=\cos(x) e |\cos(\xi)|\le1, então
|R_5(1/3)|\le\frac{|1/3|^6}{6!} =\frac{1/729}{720} \approx1{,}905\times10^{-6}.
Como 1{,}905\times10^{-6}<5\times10^{-6}=\tfrac12\cdot10^{-5}, garantimos 5 casas decimais exatas.

Passo 4

Na calculadora \cos(1/3)\approx0{,}944956944. A diferença para T_5 é
|0{,}944958 - 0{,}944956944| \approx1{,}06\times10^{-6},
compatível com o nosso limite 1{,}9\times10^{-6}.

Passo 5

Para e^x em torno de 0 temos
e^x=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}.
Truncando em ordem 6, o polinômio é
T_6(x)=\sum_{k=0}^{6}\frac{x^k}{k!}.
Para x=\tfrac12,
T_6\bigl(\tfrac12\bigr) =1+\tfrac12+\frac{(\tfrac12)^2}{2}+\frac{(\tfrac12)^3}{6} +\frac{(\tfrac12)^4}{24}+\frac{(\tfrac12)^5}{120}+\frac{(\tfrac12)^6}{720} \approx1{,}64871962.

Passo 6

O resto de ordem 6 é
R_6(x)=\frac{e^\xi}{7!}x^7
para algum \xi\in[0,x]. Como e^\xi\le e^{1/2},
|R_6(\tfrac12)|\le\frac{e^{1/2}}{7!}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^7 =\frac{e^{1/2}}{5040}\,\frac1{128} \approx2{,}56\times10^{-6}.
De novo 2{,}56\times10^{-6}<5\times10^{-6}, logo 5 casas decimais exatas.

Passo 7

Na calculadora e^{1/2}\approx1{,}648721271. A diferença para T_6 é
|1{,}64871962 - 1{,}648721271| \approx1{,}65\times10^{-6},
compatível com o nosso limite 2{,}56\times10^{-6}.

Resposta

(a) \cos(1/3)\approx0{,}944958, erro \le1{,}905\times10^{-6}, 5 casas decimais exatas. Valor exato \approx0{,}944956944.
(b) \sqrt{e}=e^{1/2}\approx1{,}64871962, erro \le2{,}56\times10^{-6}, 5 casas decimais exatas. Valor exato \approx1{,}648721271.

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