Seja p um número primo maior que 3 . Prove que p^2-1 é divisível por 24 .

Passo 1

O enunciado diz que p é primo maior que 3 e pede para provar que p^2-1 é divisível por 24. O conteúdo aqui é teoria dos números, usando divisibilidade e fatoração. Vamos usar a identidade
p^2-1 ;=;(p-1)(p+1)
e mostrar que esse produto é divisível por 8 e por 3.

Passo 2

Como p é primo maior que 2, ele é ímpar. Escrevendo p=2k+1, temos
p-1=2k, p+1=2(k+1),
então
(p-1)(p+1)=2kcdot2(k+1)=4,k(k+1)
Entre k e k+1 sempre há um número par, portanto k(k+1) é múltiplo de 2. Logo
(p-1)(p+1)=4cdot2cdot m=8m
para algum inteiro m, ou seja, 8 divide p^2-1.

Passo 3

Como p é primo maior que 3, não é múltiplo de 3. Assim, em relação a 3 temos duas opções:
  • Se pequiv1pmod3, então p-1equiv0pmod3.
  • Se pequiv2pmod3, então p+1equiv0pmod3.
    Em ambos os casos, 3 divide (p-1)(p+1)=p^2-1.

Passo 4

Já vimos que 8 e 3 dividem p^2-1. Como gcd(8,3)=1, o produto 8cdot3=24 também divide p^2-1.

Resposta

p^2-1 é divisível por 24.

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