Seja
um número primo maior que 3 . Prove que
é divisível por 24 .
Passo 1
O enunciado diz que
é primo maior que
e pede para provar que
é divisível por
. O conteúdo aqui é teoria dos números, usando divisibilidade e fatoração. Vamos usar a identidade
e mostrar que esse produto é divisível por
e por
.
Passo 2
Como
é primo maior que
, ele é ímpar. Escrevendo
, temos
então
Entre
e
sempre há um número par, portanto
é múltiplo de
. Logo
para algum inteiro
, ou seja,
divide
.
Passo 3
Como
é primo maior que
, não é múltiplo de
. Assim, em relação a
temos duas opções:
- Se
, então . - Se
, então .
Em ambos os casos,divide .
Passo 4
Já vimos que
e
dividem
. Como
, o produto
também divide
.