Sejam \vec{a} e \vec{b} dois vetores do espaço. Denotamos por S_{1} a área do paralelogramo formado pelos vetores \vec{a}-\vec{b} e \vec{a}+\vec{b}, e por S_{2} a área do paralelogramo formado pelos vetores \vec{a} e \vec{b}. Mostre que S_{1}=2 S_{2}.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores \vec{a} e \vec{b} (no espaço) e pede para comparar as áreas de dois paralelogramos:
S_{1} \text{ é a área do paralelogramo gerado por } \vec{a}-\vec{b} \text{ e } \vec{a}+\vec{b},éá
S_{2} \text{ é a área do paralelogramo gerado por } \vec{a} \text{ e } \vec{b}.éá
A pergunta explícita é: mostrar que \;S_{1}=2S_{2}.

Passo 2

Vamos lembrar uma fórmula essencial (explicada com calma): a área do paralelogramo construído sobre dois vetores \vec{u} e \vec{v} no espaço é dada pela norma do produto vetorial entre eles. Em símbolos:
\text{Área}(\vec{u},\vec{v})=\|\vec{u}\times\vec{v}\|.Á
Explicando o que isso significa: \vec{u}\times\vec{v} é um vetor perpendicular a ambos \vec{u} e \vec{v} cuja norma vale \|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. O produto \|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|\sin\theta é exatamente a base vezes a altura do paralelogramo, por isso a norma do produto vetorial dá a área. Aqui \|\cdot\| denota a norma (módulo) de um vetor.

Passo 3

Também precisamos das propriedades do produto vetorial que vamos usar (vou explicar cada uma):
  1. Distributividade em relação à soma:
(\vec{p}+\vec{q})\times\vec{r}=\vec{p}\times\vec{r}+\vec{q}\times\vec{r},
\vec{r}\times(\vec{p}+\vec{q})=\vec{r}\times\vec{p}+\vec{r}\times\vec{q}.
Isto vem da definição componente a componente do produto vetorial e é uma regra de soma linear.
  1. Anticomutatividade:
\vec{p}\times\vec{q} = -\,\vec{q}\times\vec{p}.
Isto significa que trocar a ordem inverte o sinal do produto vetorial.
  1. Produto vetorial de um vetor por si mesmo é o vetor nulo:
\vec{p}\times\vec{p}=\vec{0}.
Isto porque o ângulo entre \vec{p} e \vec{p} é zero, então \sin 0 = 0 e a norma do produto é zero, logo o vetor é o nulo.
  1. Multiplicação por escalar sai da norma:
\|k\vec{v}\| = |k|\,\|\vec{v}\|
para qualquer escalar k. Assim \|k(\vec{v}\times\vec{w})\| = |k|\,\|\vec{v}\times\vec{w}\|.

Passo 4

Agora aplicamos tudo ao nosso caso. Pelo passo 2,
S_{1}=\|(\vec{a}-\vec{b})\times(\vec{a}+\vec{b})\| \quad\text{e}\quad S_{2}=\|\vec{a}\times\vec{b}\|.
Expandimos o produto vetorial usando distributividade:
(\vec{a}-\vec{b})\times(\vec{a}+\vec{b}) = \vec{a}\times\vec{a} + \vec{a}\times\vec{b} - \vec{b}\times\vec{a} - \vec{b}\times\vec{b}.
Pelo item 3 do passo anterior temos \vec{a}\times\vec{a}=\vec{0} e \vec{b}\times\vec{b}=\vec{0}. Restam os termos com \vec{a}\times\vec{b} e \vec{b}\times\vec{a}. Aplicando a anticomutatividade ( \vec{b}\times\vec{a}=-\vec{a}\times\vec{b}) obtemos:
\vec{a}\times\vec{b} - \vec{b}\times\vec{a} = \vec{a}\times\vec{b} - (-\vec{a}\times\vec{b}) = 2\,\vec{a}\times\vec{b}.
Portanto
(\vec{a}-\vec{b})\times(\vec{a}+\vec{b}) = 2\,\vec{a}\times\vec{b}.

Passo 5

Agora tomamos a norma dos dois lados para obter as áreas. Usando a propriedade da norma para múltiplos escalares (passo 3.4):
S_{1}=\|(\vec{a}-\vec{b})\times(\vec{a}+\vec{b})\| = \|2\,\vec{a}\times\vec{b}\| = 2\,\|\vec{a}\times\vec{b}\|.
Mas \|\vec{a}\times\vec{b}\| = S_{2}, então
S_{1}=2\,S_{2}.
Isso prova a identidade pedida.

Passo 6

Para fixar a ideia, um exemplo rápido: tome \vec{a}=(1,0,0) e \vec{b}=(0,1,0). Então \vec{a}\times\vec{b}=(0,0,1) tem norma 1, logo S_{2}=1. Temos \vec{a}-\vec{b}=(1,-1,0) e \vec{a}+\vec{b}=(1,1,0); o produto vetorial entre eles é (0,0,2) com norma 2, logo S_{1}=2. Confere que S_{1}=2S_{2}, como provado acima — ótimo sinal de que a manipulação algébrica bate com números!

Resposta

S_{1}=2S_{2}

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