Sejam
e
dois vetores do espaço. Denotamos por
a área do paralelogramo formado pelos vetores
e
, e por
a área do paralelogramo formado pelos vetores
e
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá dois vetores
e
(no espaço) e pede para comparar as áreas de dois paralelogramos:
A pergunta explícita é: mostrar que
.
Passo 2
Vamos lembrar uma fórmula essencial (explicada com calma): a área do paralelogramo construído sobre dois vetores
e
no espaço é dada pela norma do produto vetorial entre eles. Em símbolos:
Explicando o que isso significa:
é um vetor perpendicular a ambos
e
cuja norma vale
, onde
é o ângulo entre
e
. O produto
é exatamente a base vezes a altura do paralelogramo, por isso a norma do produto vetorial dá a área. Aqui
denota a norma (módulo) de um vetor.
Passo 3
Também precisamos das propriedades do produto vetorial que vamos usar (vou explicar cada uma):
- Distributividade em relação à soma:
Isto vem da definição componente a componente do produto vetorial e é uma regra de soma linear.
- Anticomutatividade:
Isto significa que trocar a ordem inverte o sinal do produto vetorial.
- Produto vetorial de um vetor por si mesmo é o vetor nulo:
Isto porque o ângulo entre
e
é zero, então
e a norma do produto é zero, logo o vetor é o nulo.
- Multiplicação por escalar sai da norma:
para qualquer escalar
. Assim
.
Passo 4
Agora aplicamos tudo ao nosso caso. Pelo passo 2,
Expandimos o produto vetorial usando distributividade:
Pelo item 3 do passo anterior temos
e
. Restam os termos com
e
. Aplicando a anticomutatividade (
) obtemos:
Portanto
Passo 5
Agora tomamos a norma dos dois lados para obter as áreas. Usando a propriedade da norma para múltiplos escalares (passo 3.4):
Mas
, então
Isso prova a identidade pedida.
Passo 6
Para fixar a ideia, um exemplo rápido: tome
e
. Então
tem norma
, logo
. Temos
e
; o produto vetorial entre eles é
com norma
, logo
. Confere que
, como provado acima — ótimo sinal de que a manipulação algébrica bate com números!