Verifique quais pares de retas r e s são coincidentes e quais são paralelas, onde:
r=(t, t+1,2 t) mid t in R e s=(-t,-t+2,-2 t+1) mid t in R.

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço em forma paramétrica:
r:;(x,y,z)=(t,;t+1,;2t), tinR,
s:;(x,y,z)=(-t,;-t+2,;-2t+1), tinR
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: extraímos vetores diretores e verificamos se são proporcionais (para testar paralelismo) e, em caso afirmativo, se as retas coincidem (um ponto de uma está na outra).

Passo 2

Extraímos o vetor diretor e um ponto de cada reta.
Para r:
vec vr=(1,1,2), Pr=(0,1,0)(obtido em t=0)
Para s:
vec vs=(-1,-1,-2), Ps=(0,2,1)(obtido em t=0)

Passo 3

Verificamos se vec vr e vec vs são proporcionais.
Note que
vec vs = -1cdotvec vr,
logo as direções são colineares, o que implica que r e s são paralelas (ou coincidentes).

Passo 4

Para decidir entre paralelas distintas ou coincidentes, checamos se um ponto de s pertence a r. Considere Ps=(0,2,1). Se Ps estivesse em r, haveria tau tal que
(tau,;tau+1,;2tau)=(0,2,1)
Das coordenadas temos tau=0 pela primeira, mas então a segunda daria 0+1=1neq2. Logo não existe tau que satisfaça todas as coordenadas, e Psnotin r.

Resposta

As retas r e s são paralelas e não coincidentes.

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