Seja p >= 5 um primo. Mostre que
6 cdot(p-4)!equiv 1(bmod p)

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, dado um primo p>=5, vale
6cdot(p-4)!equiv1pmod p
O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema de Wilson, que diz que (p-1)!equiv-1pmod p.

Passo 2

Pelo Teorema de Wilson, temos
(p-1)!equiv-1pmod p

Passo 3

Reescrevemos o fatorial como
(p-1)!=(p-4)!,(p-3)(p-2)(p-1)

Passo 4

Agora reduzimos cada fator (p-k) módulo p. Sabendo que (p-1)equiv-1, (p-2)equiv-2 e (p-3)equiv-3, obtemos
(p-3)(p-2)(p-1)equiv(-3)(-2)(-1)= -6pmod p

Passo 5

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(p-1)!=(p-4)!,(p-3)(p-2)(p-1)equiv(p-4)!,(-6)=-6,(p-4)!pmod p
Igualando a -6(p-4)! com (p-1)! e usando Wilson, temos
-6,(p-4)!equiv-1pmod p
Multiplicando ambos os lados por -1), chega-se a
6,(p-4)!equiv1pmod p

Resposta

6cdot(p-4)!equiv1pmod p

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