Seja
primo. Mostre que para todo inteiro
tem-se
.
Se
primo, mostre
, para quaisquer inteiros
e
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, para um primo
, que vale
para todo inteiro
e, em seguida, que
para quaisquer inteiros
.
O conteúdo principal envolve o Teorema Binomial e um resultado de divisibilidade de coeficientes binomiais por um primo.
O conteúdo principal envolve o Teorema Binomial e um resultado de divisibilidade de coeficientes binomiais por um primo.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que para
temos
logo
divide cada
. Esse passo é fundamental porque garante que todos os termos mistos do binômio vão sumir módulo
.
Passo 3
Agora, para provar
para todo inteiro
, procedemos assim:
-
Note que basta mostrar o resultado para os resíduos
com , pois implica . -
Façamos indução em
: - Caso-base
: claro que . - Passo indutivo: suponha
. Então
Como cadacom é múltiplo de , esses termos valem zero módulo . Logo completando a indução. - Caso-base
-
Concluímos que
para todo , e portanto
para todo inteiro .
Passo 4
Para mostrar
, aplicamos o Teorema Binomial:
Nos termos com
, o coeficiente
é múltiplo de
, logo todos esses termos desaparecem módulo
. Restam apenas os casos
e
:
Resposta
Para todo primo
e inteiros
vale
e