Seja p primo. Mostre que para todo inteiro a tem-se a^p equiv a(bmod p).
Se p primo, mostre (a+b)^p equiv a^p+b^p(bmod p), para quaisquer inteiros a e b.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, para um primo p, que vale
a^p equiv a pmod p para todo inteiro a e, em seguida, que
(a+b)^p equiv a^p + b^p pmod p para quaisquer inteiros a, b.
O conteúdo principal envolve o Teorema Binomial e um resultado de divisibilidade de coeficientes binomiais por um primo.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que para 1 <= k <= p-1 temos
binompk = p!k!,(p-k)! = p cdot (p-1)!k!,(p-k)!,
logo p divide cada binompk. Esse passo é fundamental porque garante que todos os termos mistos do binômio vão sumir módulo p.

Passo 3

Agora, para provar a^p equiv a pmod p para todo inteiro a, procedemos assim:
  1. Note que basta mostrar o resultado para os resíduos r com 0 <= r < p, pois aequiv rpmod p implica a^pequiv r^ppmod p.
  2. Façamos indução em r:
    • Caso-base r=0: claro que 0^pequiv 0pmod p.
    • Passo indutivo: suponha r^p equiv rpmod p. Então
    (r+1)^p = r^p + sumk=1^p-1 binompk r^p-k cdot 1^k + 1^p
    Como cada binompk com 1<= k<= p-1 é múltiplo de p, esses termos valem zero módulo p. Logo
    (r+1)^p equiv r^p + 1 equiv r + 1 pmod p,
    completando a indução.
  3. Concluímos que r^pequiv rpmod p para todo 0<= r, e portanto
    a^pequiv apmod p para todo inteiro a.

Passo 4

Para mostrar (a+b)^p equiv a^p + b^p pmod p, aplicamos o Teorema Binomial:
(a+b)^p = sumk=0^p binompk a^p-k b^k
Nos termos com 1<= k<= p-1, o coeficiente binompk é múltiplo de p, logo todos esses termos desaparecem módulo p. Restam apenas os casos k=0 e k=p:
(a+b)^p equiv a^p + b^p pmod p

Resposta

Para todo primo p e inteiros a,b vale
a^p equiv a pmod p
e
(a+b)^p equiv a^p + b^p pmod p

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