Considere a região
delimitada por
e o eixo
. Faça um esboço de
. Calcule a área
de
. Calcule o volume
do sólido obtido ao rotacionar a regiāo
segundo o eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que envolve desenhar a região $ Z $ delimitada pela curva $ y = x^3 - x $ e pelo eixo $ x $. Depois, vamos calcular a área dessa região e o volume do sólido que resulta ao girá-la em torno do eixo $ x $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, como integração para encontrar áreas e volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar onde a curva $ y = x^3 - x $ cruza o eixo $ x $. Isso acontece quando $ y = 0 $:
Então, os pontos de interseção são $ x = -1 $, $ x = 0 $ e $ x = 1 $.
Passo 3
Agora, vamos esboçar a região $ Z $. A curva $ y = x^3 - x $ é uma função cúbica que cruza o eixo $ x $ em $ x = -1 $, $ x = 0 $ e $ x = 1 $. Entre $ x = -1 $ e $ x = 1 $, a curva fica abaixo do eixo $ x $, formando uma espécie de “S” invertido. A região $ Z $ é a área entre essa curva e o próprio eixo $ x $ no intervalo de $ x = -1 $ a $ x = 1 $.
Passo 4
Para calcular a área $ A $ da região $ Z $, usamos a integração definida. A fórmula para a área entre uma curva $ y = f(x) $ e o eixo $ x $ de $ a $ a $ b $ é:
No nosso caso, $ f(x) = x^3 - x $, e os limites de integração são $ a = -1 $ e $ b = 1 $. Como a função está abaixo do eixo $ x $ nesse intervalo, podemos simplificar para:
Vamos calcular:
Hmm, isso não faz sentido. Vamos verificar novamente.
Na verdade, a função $ x^3 - x $ é ímpar, ou seja, $ f(-x) = -f(x) $, então a área de $ -1 $ a $ 1 $ será o dobro da área de $ 0 $ a $ 1 $. Então:
Passo 5
Para calcular o volume $ V $ do sólido obtido ao rotacionar a região $ Z $ em torno do eixo $ x $, usamos o método dos discos. A fórmula para o volume é:
Novamente, $ f(x) = x^3 - x $, e os limites são $ a = -1 $ e $ b = 1 $. Como a função é ímpar, podemos calcular de $ 0 $ a $ 1 $ e multiplicar por 2:
Vamos expandir $ (x^3 - x)^2 $:
Então,
Resposta
A área da região $ Z $ é $ \frac{1}{2} $ unidades quadradas e o volume do sólido obtido é $ \frac{16,\pi}{105} $ unidades cúbicas.