Considere a região Z delimitada por y=x^3-x e o eixo x. Faça um esboço de Z. Calcule a área A de Z. Calcule o volume V do sólido obtido ao rotacionar a regiāo Z segundo o eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que envolve desenhar a região $ Z $ delimitada pela curva $ y = x^3 - x $ e pelo eixo $ x $. Depois, vamos calcular a área dessa região e o volume do sólido que resulta ao girá-la em torno do eixo $ x $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, como integração para encontrar áreas e volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar onde a curva $ y = x^3 - x $ cruza o eixo $ x $. Isso acontece quando $ y = 0 $:
y = x^3 - x
Então, os pontos de interseção são $ x = -1 $, $ x = 0 $ e $ x = 1 $.

Passo 3

Agora, vamos esboçar a região $ Z $. A curva $ y = x^3 - x $ é uma função cúbica que cruza o eixo $ x $ em $ x = -1 $, $ x = 0 $ e $ x = 1 $. Entre $ x = -1 $ e $ x = 1 $, a curva fica abaixo do eixo $ x $, formando uma espécie de “S” invertido. A região $ Z $ é a área entre essa curva e o próprio eixo $ x $ no intervalo de $ x = -1 $ a $ x = 1 $.

Passo 4

Para calcular a área $ A $ da região $ Z $, usamos a integração definida. A fórmula para a área entre uma curva $ y = f(x) $ e o eixo $ x $ de $ a $ a $ b $ é:
A
No nosso caso, $ f(x) = x^3 - x $, e os limites de integração são $ a = -1 $ e $ b = 1 $. Como a função está abaixo do eixo $ x $ nesse intervalo, podemos simplificar para:
Z
Vamos calcular:
y = f(x)
Hmm, isso não faz sentido. Vamos verificar novamente.
Na verdade, a função $ x^3 - x $ é ímpar, ou seja, $ f(-x) = -f(x) $, então a área de $ -1 $ a $ 1 $ será o dobro da área de $ 0 $ a $ 1 $. Então:
x

Passo 5

Para calcular o volume $ V $ do sólido obtido ao rotacionar a região $ Z $ em torno do eixo $ x $, usamos o método dos discos. A fórmula para o volume é:
V
Novamente, $ f(x) = x^3 - x $, e os limites são $ a = -1 $ e $ b = 1 $. Como a função é ímpar, podemos calcular de $ 0 $ a $ 1 $ e multiplicar por 2:
Z
Vamos expandir $ (x^3 - x)^2 $:
x
Então,
V = pi integrala^b [f(x)]^2 , dx

Resposta

A área da região $ Z $ é $ \frac{1}{2} $ unidades quadradas e o volume do sólido obtido é $ \frac{16,\pi}{105} $ unidades cúbicas.

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