Encontre os quatro primeiros termos não nulos da série de potência em torno de
da solução geral da equação diferencial.
Passo 1
O enunciado pede os quatro primeiros termos não nulos da série de potência em torno de
da solução geral da equação diferencial
O conteúdo é resolução de ODE de primeira ordem por série de potências. Vamos usar o método de substituição de
e obter uma relação de recorrência entre os coeficientes
.
Passo 2
Propondo
substituímos em
Passo 3
Escrevendo as somas com o mesmo índice de potência
:
Somando tudo e igualando coeficiente a zero, para
temos
e no caso
(termo constante)
Passo 4
Tomando
como constante arbitrária, usamos a recorrência para achar os primeiros coeficientes:
Passo 5
Os quatro primeiros termos não nulos (até
) são
Resposta
Escolhendo
, a série de potência da solução geral é