Encontre os quatro primeiros termos não nulos da série de potência em torno de chi=0 da solução geral da equação diferencial.
-y^prime+(x+2) y=0

Passo 1

O enunciado pede os quatro primeiros termos não nulos da série de potência em torno de chi=0 da solução geral da equação diferencial
-,y'(x)+(x+2),y(x)=0
O conteúdo é resolução de ODE de primeira ordem por série de potências. Vamos usar o método de substituição de
y(x)=sumn=0^infty an,x^n
e obter uma relação de recorrência entre os coeficientes an.

Passo 2

Propondo
y(x)=sumn=0^infty an,x^n, y'(x)=sumn=1^infty n,an,x^n-1,
substituímos em
-,y'(x)+(x+2),y(x)=0

Passo 3

Escrevendo as somas com o mesmo índice de potência x^k:
-y'(x)=-sumk=0^infty (k+1),ak+1,x^k, x,y(x)=sumk=1^infty ak-1,x^k, 2,y(x)=2sumk=0^infty ak,x^k
Somando tudo e igualando coeficiente a zero, para k>=1 temos
-(k+1),ak+1+2,ak+ak-1=0 Longrightarrow ak+1=2,ak+ak-1k+1,
e no caso k=0 (termo constante)
-1cdot a1+2,a0=0 Longrightarrow a1=2,a0

Passo 4

Tomando a0 como constante arbitrária, usamos a recorrência para achar os primeiros coeficientes:
a1=2,a0, a2=2,a1+a02=2cdot2a0+a02=52,a0, a3=2,a2+a13=2cdot52a0+2a03=73,a0

Passo 5

Os quatro primeiros termos não nulos (até x^3) são
a0, a1x=2a0,x, a2x^2=52a0,x^2, a3x^3=73a0,x^3

Resposta

Escolhendo C=a0, a série de potência da solução geral é
y(x)=Cl(1+2x+tfrac52x^2+tfrac73x^3+cdotsr)

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