Seja P=(0,1,2) e Q=(3,-1,4). Determine o ponto R tal que \overrightarrow{P R}=3 \overrightarrow{P Q}.

Passo 1

O enunciado dá dois pontos no espaço: P=(0,1,2) e Q=(3,-1,4). Pede para determinar o ponto R tal que \overrightarrow{P R}=3\overrightarrow{P Q}.
Informações relevantes:
  • Coordenadas de P: (0,1,2).
  • Coordenadas de Q: (3,-1,4).
  • Relação entre vetores: \overrightarrow{P R}=3\overrightarrow{P Q}.
O que precisa ser encontrado:
  • As coordenadas de R.

Passo 2

Lembrando a definição prática em coordenadas: se A=(x_A,y_A,z_A) e B=(x_B,y_B,z_B), então o vetor \overrightarrow{AB} tem componentes
\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A).
Isto significa que, para obter o vetor entre dois pontos, subtrai-se coordenada a coordenada.

Passo 3

Aplicando a fórmula para \overrightarrow{P Q} com P=(0,1,2) e Q=(3,-1,4):
\overrightarrow{P Q}=(3-0,\;-1-1,\;4-2).
Agora calculamos cada componente:
3-0=3,\qquad -1-1=-2,\qquad 4-2=2.
Logo
\overrightarrow{P Q}=(3,\,-2,\;2).

Passo 4

A condição do enunciado pede \overrightarrow{P R}=3\overrightarrow{P Q}. Isso é multiplicação escalar: multiplicar cada componente de \overrightarrow{P Q} por 3. Portanto
\overrightarrow{P R}=3\cdot(3,\,-2,\;2).
Calculando componente a componente:
3\cdot 3=9,\qquad 3\cdot(-2)=-6,\qquad 3\cdot 2=6.
Assim
\overrightarrow{P R}=(9,\,-6,\;6).

Passo 5

Agora use a relação entre vetor e pontos: se \overrightarrow{P R}=(\Delta x,\Delta y,\Delta z) e P=(x_P,y_P,z_P), então as coordenadas de R são
R=(x_P+\Delta x,\;y_P+\Delta y,\;z_P+\Delta z).
No nosso caso P=(0,1,2) e \overrightarrow{P R}=(9,-6,6), então
R=(0+9,\;1+(-6),\;2+6).

Passo 6

Calcule cada soma:
0+9=9,\qquad 1+(-6)=-5,\qquad 2+6=8.
Portanto
R=(9,-5,8).

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas bom para confiar no resultado): calcule \overrightarrow{P R} a partir de P e do R encontrado:
\overrightarrow{P R}=(9-0,\;-5-1,\;8-2)=(9,\,-6,\;6),
que de fato é 3 vezes \overrightarrow{P Q}=(3,-2,2). Tudo consistente.

Resposta

R=(9,-5,8)

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