Seja P o paralelepípedo formado pelos vetores u, v e w. O que acontece com o volume de P se duplicarmos o comprimento dos vetores u, v e w ?
Escolha uma opção:
a. Fica oito vezes maior.
b. Fica duas vezes maior.
C. Fica três vezes maior.
d. Fica quatro vezes maior.
e. Fica nove vezes maior.

Passo 1

O enunciado pergunta sobre o volume de um paralelepípedo P gerado pelos vetores u, v e w e quer saber o que acontece nesse volume se duplicarmos cada um dos três vetores. O conteúdo necessário é a interpretação do volume de um paralelepípedo em termos do produto misto (ou determinante) e a propriedade de multilinearidade desse determinante.

Passo 2

O volume original de P é dado pelo valor absoluto do produto misto dos vetores, ou seja:
V = l|det(u,v,w)r|

Passo 3

Como o determinante é multilinear em cada coluna (ou linha), se duplicarmos cada vetor temos
det(2u,2v,2w) = 2cdot 2cdot 2 ;det(u,v,w) = 2^3 det(u,v,w)
Tomando valor absoluto, o novo volume será
V' = l|det(2u,2v,2w)r| = 2^3 l|det(u,v,w)r| = 8,V

Resposta

a. Fica oito vezes maior.

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