Considere o triângulo formado pelos pontos
A=(2,1,1), B=(3,1,1) e C=(4,3,2).E seja D um ponto no lado A C do triângulo tal que o segmento B D seja perpendicular ao lado A C. o comprimento do segmento C D menos o comprimento do segmento A D é igual a:
Escolha uma opção:
  • a. 23
    -b. 73
  • c. 53
    ○ d. 3
    ○ e. 1

Passo 1

Temos o triângulo com vértices A=(2,1,1), B=(3,1,1) e C=(4,3,2). O ponto D está sobre o lado AC de forma que o segmento BD é perpendicular a AC. Para achar lvert CDrvert - lvert ADrvert, vamos usar projeção vetorial em R^3: parametrizar AC, projetar B em AC e depois calcular os comprimentos de AD e CD.

Passo 2

Calculemos primeiro os vetores
AC = C - A = (4-2,,3-1,,2-1) = (2,2,1),
AB = B - A = (3-2,,1-1,,1-1) = (1,0,0)
O parâmetro da projeção é
t ;=;ABcdotAC|AC|^2 ;=;1cdot2+0cdot2+0cdot12^2+2^2+1^2 ;=;29

Passo 3

O ponto D é dado por
D ;=; A + t,(C-A) ;=;l(2+tfrac49,,1+tfrac49,,1+tfrac29r)
Como |AC|=raiz2^2+2^2+1^2=3, temos
|AD| = tcdot3 = 23, |CD| = (1-t)cdot3 = 73

Passo 4

Portanto
|CD|-|AD| = 73 - 23 = 53,
que coincide com a alternativa (c).

Resposta

(c) 53

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