3.34 (a) Escreva x y, x z e \left(x^{2}-y^{2}\right) como componentes de um tensor esférico (irredutível) de ordem 2.
(b) O valor esperado
Q \equiv e\langle\alpha, j, m=j|\left(3 z^{2}-r^{2}\right)|\alpha, j, m=j\rangle
é conhecido como momento de quadrupolo. Calcule
e\left(\alpha, j, m^{\prime}\left|\left(x^{2}-y^{2}\right)\right| \alpha, j, m=j\right),

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) escrever \,x y,\; x z e \,x^{2}-y^{2} como componentes de um tensor esférico (irredutível) de ordem 2;
  • (b) calcular
e\bigl(\alpha, j, m'\big|\big(x^{2}-y^{2}\big)\big|\alpha, j, m=j\bigr),
ou seja, o elemento de matriz entre o estado |\alpha,j,m=j\rangle (estado “estendido” com m=j) e um estado com projeção m'.
Informações relevantes dadas / que vamos usar:
  • Pode-se construir um tensor esférico de ordem 2 a partir de combinações homogêneas quadráticas em x,y,z: os cinco componentes T_{2,q} com q=-2,\ldots,2 podem ser escolhidos proporcionalmente a (x\pm i y)^2,\;(x\pm i y)z,\;2z^2-x^2-y^2.
  • O momento de quadrupolo dado no enunciado é
Q \equiv e\langle\alpha,j,m=j|\big(3z^{2}-r^{2}\big)|\alpha,j,m=j\rangle,
note que \,3z^{2}-r^{2}=2z^{2}-x^{2}-y^{2} é um componente (proporcional a) T_{2,0} do tensor de ordem 2.
  • Vamos usar a regra de seleção e o teorema de Wigner–Eckart para expressar elementos de matriz de componentes esféricas T_{2,q} em termos de coeficientes de Clebsch–Gordan (ou símbolos 3j) e do elemento reduzido \langle j\|T_{2}\|j\rangle.

Passo 2

Explicando (de forma bem direta) o que são os componentes esféricos de ordem 2 e como se constroem a partir de x,y,z.
  • Um tensor esférico irreduzível de ordem 2 tem cinco componentes T_{2,q} com q=-2,-1,0,1,2. Esses componentes transformam entre si sob rotações como os harmónicos esféricos Y_{2,q}.
  • Uma escolha simples (sem fatores de normalização universais, mas consistente e conveniente) é:
\begin{aligned} T_{2,2} &\equiv (x+i y)^{2},\\\ T_{2,1} &\equiv (x+i y)\,z,\\\ T_{2,0} &\equiv 2z^{2}-x^{2}-y^{2} \quad(\;=\;3z^{2}-r^{2}\;),\\\ T_{2,-1} &\equiv (x-i y)\,z,\\\ T_{2,-2} &\equiv (x-i y)^{2}. \end{aligned}
Observação sobre normalizações: há constantes convencionais (fatores numéricos) que aparecem em definições normais de tensores esféricos. Aqui escolhi estas combinações simples — as relações que vou usar entre componentes cartesianas e T_{2,q} são exatas com essas definições (ou seja, não usei \propto, usei igualdades para estas escolhas).

Passo 3

Expressar x y,\; x z,\; x^{2}-y^{2} em termos dos T_{2,q}.
Partindo das definições do passo anterior:
  • Calcule (x+i y)^{2} e (x-i y)^{2}:
(x+i y)^{2}=x^{2}-y^{2}+2i\,x y, \qquad (x-i y)^{2}=x^{2}-y^{2}-2i\,x y.
Somando e subtraindo obtemos relações diretas:
\begin{aligned} x^{2}-y^{2} &= \tfrac{1}{2}\big[(x+i y)^{2}+(x-i y)^{2}\big] = \tfrac{1}{2}\big(T_{2,2}+T_{2,-2}\big),\\[6pt] x y &= \tfrac{1}{4i}\big[(x+i y)^{2}-(x-i y)^{2}\big] = \tfrac{1}{4i}\big(T_{2,2}-T_{2,-2}\big). \end{aligned}
Para x z usamos:
(x+i y)z + (x-i y)z = 2 x z,
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x z = \tfrac{1}{2}\big[(x+i y)z + (x-i y)z\big] = \tfrac{1}{2}\big(T_{2,1}+T_{2,-1}\big).
Resumo prático (resultados usados adiante):
\boxed{\,x^{2}-y^{2}=\tfrac{1}{2}(T_{2,2}+T_{2,-2}),\quad x y=\tfrac{1}{4i}(T_{2,2}-T_{2,-2}),\quad x z=\tfrac{1}{2}(T_{2,1}+T_{2,-1})\,.}]

Passo 4

Regras de seleção e teorema de Wigner–Eckart (explicação didática curta).
  • O teorema de Wigner–Eckart diz que, para um tensor esférico irreduzível T_{k,q},
\langle j',m'|T_{k,q}|j,m\rangle = (-1)^{j'-m'}\bigl(j'\;k\;j;\,-m'\;q\;m\bigr)\,\langle j'\|T_{k}\|j\rangle,
onde \bigl(\cdots\bigr) é o símbolo 3j. Uma forma equivalente (usando coeficientes de Clebsch–Gordan) é
\langle j',m'|T_{k,q}|j,m\rangle = \frac{(j\,m\;;\;k\,q\mid j'\,m')}{\sqrt{2j'+1}}\;\langle j'\|T_{k}\|j\rangle.
  • Importante: há regra de seleção para a componente q: só aparece se m' = m+q. No nosso caso k=2, então q\in\{-2,-1,0,1,2\}.
  • No problema temos j'=j (mesmo j bra e ket), e o ket inicial tem m=j. Portanto só os q\le 0 podem produzir m'\le j. Especificamente, de x^{2}-y^{2}=\tfrac12(T_{2,2}+T_{2,-2}) só o termo com q=-2 pode ligar |j,m=j\rangle para um bra com m'=j-2. O termo q=+2 exigiria m'=j+2, impossível.

Passo 5

Cálculo do elemento solicitado usando as relações e Wigner–Eckart; eliminação do elemento reduzido usando Q.
Começamos escrevendo diretamente o elemento de matriz procurado:
e\langle\alpha,j,m'|\big(x^{2}-y^{2}\big)|\alpha,j,m=j\rangle = \frac{e}{2}\bigl\langle\alpha,j,m'\big|T_{2,2}+T_{2,-2}\big|\alpha,j,j\bigr\rangle.
Como explicado, o termo com T_{2,2} só conecta |j,j\rangle a m'=j+2 (impossível), então o único possível é q=-2 e m'=j-2. Assim o elemento só pode ser não-nulo para m'=j-2, e nesse caso
e\langle\alpha,j,j-2|\big(x^{2}-y^{2}\big)|\alpha,j,j\rangle = \frac{e}{2}\,\langle\alpha,j,j-2|T_{2,-2}|\alpha,j,j\rangle.
Aplicando Wigner–Eckart (na forma com coeficiente de Clebsch–Gordan):
\langle\alpha,j,j-2|T_{2,-2}|\alpha,j,j\rangle = \frac{(j\,j\;;\;2\;{-2}\mid j\,j-2)}{\sqrt{2j+1}}\, \langle j\|T_{2}\|j\rangle.
Portanto
e\langle\alpha,j,j-2|\big(x^{2}-y^{2}\big)|\alpha,j,j\rangle = \frac{e}{2}\,\frac{(j\,j\;;\;2\;{-2}\mid j\,j-2)}{\sqrt{2j+1}}\, \langle j\|T_{2}\|j\rangle.
Agora relacionamos o elemento reduzido com o momento de quadrupolo Q.
Pela definição do enunciado,
Q = e\langle\alpha,j,j|\,3z^{2}-r^{2}\,|\alpha,j,j\rangle = e\langle\alpha,j,j|T_{2,0}|\alpha,j,j\rangle.
Aplicando Wigner–Eckart ao componente q=0:
\langle\alpha,j,j|T_{2,0}|\alpha,j,j\rangle = \frac{(j\,j\;;\;2\;0\mid j\,j)}{\sqrt{2j+1}}\, \langle j\|T_{2}\|j\rangle.
Isolando o elemento reduzido:
\langle j\|T_{2}\|j\rangle = \frac{\sqrt{2j+1}}{(j\,j\;;\;2\;0\mid j\,j)}\; \frac{Q}{e}.
Substituindo esse resultado na expressão do elemento desejado, os fatores e e \sqrt{2j+1} se simplificam, dando
\begin{aligned} e\langle\alpha,j,j-2|\big(x^{2}-y^{2}\big)|\alpha,j,j\rangle &= \frac{e}{2}\,\frac{(j\,j\;;\;2\;{-2}\mid j\,j-2)}{\sqrt{2j+1}}\; \frac{\sqrt{2j+1}}{(j\,j\;;\;2\;0\mid j\,j)}\;\frac{Q}{e}\\[6pt] &= \frac{1}{2}\;\frac{(j\,j\;;\;2\;{-2}\mid j\,j-2)}{(j\,j\;;\;2\;0\mid j\,j)}\;Q. \end{aligned}
Portanto, em forma compacta e útil:
  • o elemento é zero para todo m' exceto m'=j-2;
  • para m'=j-2 vale a expressão acima, que expressa o elemento (x^{2}-y^{2}) em termos do momento de quadrupolo Q e de coeficientes de Clebsch–Gordan.]

Passo 6

Comentário final prático (motivação e uso na prova):
  • A resposta final está expressa em termos de coeficientes de Clebsch–Gordan; isso é conveniente porque esses coeficientes (ou os símbolos 3j equivalentes) são tabelados ou podem ser calculados quando j é dado.
  • Se for preciso um valor numérico, calcule explicitamente
    (j\,j\;;\;2\;{-2}\mid j\,j-2) e (j\,j\;;\;2\;0\mid j\,j) usando as fórmulas ou tabela de CG, e então aplique a fórmula do Passo 5.

Resposta

(a) x y=\dfrac{1}{4i}\bigl(T_{2,2}-T_{2,-2}\bigr),\quad x z=\dfrac{1}{2}\bigl(T_{2,1}+T_{2,-1}\bigr),\quad x^{2}-y^{2}=\dfrac{1}{2}\bigl(T_{2,2}+T_{2,-2}\bigr), onde T_{2,2}=(x+iy)^{2},\;T_{2,1}=(x+iy)z,\;T_{2,0}=2z^{2}-x^{2}-y^{2},\;T_{2,-1}=(x-iy)z,\;T_{2,-2}=(x-iy)^{2}.
(b) O elemento é não nulo somente para m'=j-2 e, nesse caso,
e\langle\alpha,j,j-2|x^{2}-y^{2}|\alpha,j,j\rangle = \frac{1}{2}\;\frac{(j\,j\;;\;2\;{-2}\mid j\,j-2)}{(j\,j\;;\;2\;0\mid j\,j)}\;Q.

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