3.33 Considere uma partícula sem spin ligada a um centro fixo por um potencial de força central.
(a) Relacione, tanto quanto possível, os elementos de matriz
\left\langle n^{\prime}, l^{\prime}, m^{\prime}\right| \mp \frac{1}{\sqrt{2}}(x \pm i y)|n, l, m\rangle \quad \text { e } \quad\left\langle n^{\prime}, l^{\prime}, m^{\prime}\right| z|n, l, m\rangle
usando somente o teorema de Wigner-Eckart. Não se esqueça de apontar sob quais condições estes elementos de matriz são diferentes de zero.
(b) Faça o mesmo usando as funções de onda \psi(\mathbf{x})=R_{n l}(r) Y_{l}^{m}(\theta, \varphi).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas, em duas abordagens diferentes, para os elementos de matriz de componentes cartesianas de \mathbf{x}=(x,y,z) entre estados de momento orbital:
  • (a) Relacionar, usando somente o teorema de Wigner–Eckart, os elementos \left\langle n',l',m'\right|\mp \frac{1}{\sqrt{2}}(x\pm i y)\left|n,l,m\right\rangle \quad\text{e}\quad \left\langle n',l',m'\right| z\left|n,l,m\right\rangle.Também indicar quando esses elementos são diferentes de zero (regras de seleção).
  • (b) Fazer o mesmo cálculo, mas agora explicitando com as funções de onda
    \psi_{nlm}(\mathbf{x})=R_{nl}(r)Y_l^m(\theta,\varphi), chegando a expressões envolvendo integrais radiais e integrais angulares.
Informações relevantes do enunciado que vamos usar (sem resolver ainda):
  • Estados baseados em momento orbital: \left|n,l,m\right\rangle com funções de onda R_{nl}(r)Y_l^m(\theta,\varphi).
  • Operadores cartesianas \;x,y,z\; aparecem combinados em \mp\frac{1}{\sqrt{2}}(x\pm i y) e em z.
  • O objetivo é expressar esses elementos de matriz em termos de objetos “angulares” (coeficientes de Clebsch–Gordan / 3j) e de integrais radiais, e enunciar as regras de seleção (quando diferente de zero).

Passo 2

Breve aula: o que é o teorema de Wigner–Eckart e como ele nos ajuda aqui.
  • O teorema de Wigner–Eckart diz que, para um operador tensorial esférico de rank k com componentes T^{(k)}_q (onde q=-k,\dots,k), os elementos de matriz entre autoestados de momento orbital \left|l,m\right\rangle se separam numa parte angular universal (um símbolo 3j / coeficiente de Clebsch–Gordan) e numa parte radial/reduzida que depende só de l e l' e do dinamismo (não depende de m,m',q):
    \left\langle n',l',m'\right| T^{(k)}_q \left|n,l,m\right\rangle = (-1)^{\,l'-m'}\begin{pmatrix} l' & k & l \\\\ -m' & q & m \end{pmatrix} \left\langle n',l'\middle\| T^{(k)}\middle\| n,l\right\rangle .
    Aqui \left\langle n',l'\middle\| T^{(k)}\middle\| n,l\right\rangle é o elemento reduzido (independente de m,m',q). O fator (-1)^{l'-m'} é uma convenção comum do enunciado do teorema.
  • No nosso caso o vetor posição \mathbf{r} forma um tensor esférico de rank k=1. As componentes esféricas (convencionais) são
    r_0 = z, \qquad r_{\pm1} = \mp\frac{1}{\sqrt{2}}(x\pm i y).
    Essas componentes satisfazem r_q = r \sqrt{\dfrac{4\pi}{3}}\,Y_1^q(\theta,\varphi) (relação útil para a parte (b)).
  • Consequências imediatas do Wigner–Eckart:
    • Condição em m: o 3j impõe -m' + q + m = 0, isto é m' = m + q.
    • Condição em l: o símbolo 3j é não nulo só se as regras triangulares forem satisfeitas; com k=1 isto implica |l'-l|\le 1 e l'+l+1 inteiro par. Dessa combinação segue que, para k=1, l' = l\pm 1(ou seja, o operador posição muda o momento orbital em uma unidade).
    • Paridade: como \mathbf{r} é parímpar (inverte sinal sob \mathbf{r}\to -\mathbf{r}), o operador conecta estados de paridades opostas — isto também implica l' e l com paridades diferentes, consistente com l'=l\pm1.

Passo 3

Aplicando o Wigner–Eckart explicitamente às componentes pedidas.
  • Para r_{\pm1}=\mp\frac{1}{\sqrt{2}}(x\pm i y) (a componente esférica q=\pm1):
    \boxed{\; \left\langle n',l',m'\right| \mp\frac{1}{\sqrt{2}}(x\pm i y) \left| n,l,m\right\rangle \;=\; \left\langle n',l',m'\right| r_{\pm1} \left| n,l,m\right\rangle }
    e pelo Wigner–Eckart
    \left\langle n',l',m'\right| r_{\pm1} \left| n,l,m\right\rangle = (-1)^{\,l'-m'}\begin{pmatrix} l' & 1 & l \\\\ -m' & \pm1 & m \end{pmatrix} \left\langle n',l'\middle\| r \middle\| n,l\right\rangle .
  • Para z=r_0 (componente q=0):
    \boxed{\; \left\langle n',l',m'\right| z \left| n,l,m\right\rangle \;=\; \left\langle n',l',m'\right| r_0 \left| n,l,m\right\rangle }
    e pelo Wigner–Eckart
    \left\langle n',l',m'\right| r_0 \left| n,l,m\right\rangle = (-1)^{\,l'-m'}\begin{pmatrix} l' & 1 & l \\\\ -m' & 0 & m \end{pmatrix} \left\langle n',l'\middle\| r \middle\| n,l\right\rangle .
  • Regras de seleção (condições de não nulidade), resumidas:
    • m' = m + q, com q=0,\pm1 correspondente a z, r_{\pm1}.
    • l' = l\pm1 (pela regra triangular e condição de paridade).
    • Se qualquer uma dessas condições falha, o elemento de matriz é zero.

Passo 4

Agora, para (b), vou calcular diretamente usando as funções de onda \psi_{nlm}(\mathbf{x})=R_{nl}(r)Y_l^m(\theta,\varphi) e a relação r_q = r\sqrt{\frac{4\pi}{3}}Y_1^q(\theta,\varphi). A ideia é fatorizar integral radial e integral angular.
Calcule o elemento genérico
I_q \equiv \left\langle n',l',m'\right| r_q \left| n,l,m\right\rangle = \int \! \psi_{n'l'm'}^*(\mathbf{x})\, r_q \, \psi_{nlm}(\mathbf{x}) \, d^3x.
Substituindo \psi e r_q:
I_q = \sqrt{\frac{4\pi}{3}} \int_0^\infty R_{n'l'}(r)R_{nl}(r)\, r^3 \, dr \int_{S^2} Y_{l'}^{m'*}(\Omega)\, Y_1^q(\Omega)\, Y_l^m(\Omega)\, d\Omega.
Defina a integral radial
\mathcal{R}_{n'l';\,nl} \equiv \int_0^\infty r^3 R_{n'l'}(r)\,R_{nl}(r)\,dr.
Então
I_q = \sqrt{\frac{4\pi}{3}}\,\mathcal{R}_{n'l';\,nl} \int Y_{l'}^{m'*} Y_1^q Y_l^m \, d\Omega.

Passo 5

Avaliação da integral angular (três harmônicas esféricas). Vou usar a identidade padrão (fórmula de Gaunt):
\int Y_{l_1}^{m_1} Y_{l_2}^{m_2} Y_{l_3}^{m_3}\, d\Omega = \sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)(2l_3+1)}{4\pi}} \begin{pmatrix} l_1 & l_2 & l_3 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} l_1 & l_2 & l_3 \\\ m_1 & m_2 & m_3 \end{pmatrix}.
Note que Y_{l'}^{m'*} = (-1)^{m'} Y_{l'}^{-m'}. Aplicando a fórmula com (l_1,m_1)=(l',-m'), (l_2,m_2)=(1,q), (l_3,m_3)=(l,m) (e lembrando o fator (-1)^{m'}):
\int Y_{l'}^{m'*} Y_1^q Y_l^m \, d\Omega = (-1)^{m'} \sqrt{\frac{(2l'+1)(2\cdot1+1)(2l+1)}{4\pi}} \begin{pmatrix} l' & 1 & l \\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} l' & 1 & l \\\\ -m' & q & m \end{pmatrix}.
Multiplicando pelo fator \sqrt{4\pi/3} prévio, os fatores angulares simplificam porque \sqrt{4\pi/3}\sqrt{3/(4\pi)}=1. Portanto obtemos
I_q = (-1)^{m'}\mathcal{R}_{n'l';\,nl}\, \sqrt{(2l'+1)(2l+1)}\, \begin{pmatrix} l' & 1 & l \\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} l' & 1 & l \\\\ -m' & q & m \end{pmatrix}.

Passo 6

Comparação com a forma Wigner–Eckart para extrair o elemento reduzido e confirmar as regras de seleção.
A forma Wigner–Eckart (escrita antes) dá
I_q = (-1)^{\,l'-m'}\begin{pmatrix} l' & 1 & l \\\\ -m' & q & m \end{pmatrix} \left\langle n',l'\middle\| r \middle\| n,l\right\rangle.
Comparando com o resultado explícito obtido:
(-1)^{m'}\mathcal{R}_{n'l';\,nl}\, \sqrt{(2l'+1)(2l+1)}\, \begin{pmatrix} l' & 1 & l \\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} l' & 1 & l \\\\ -m' & q & m \end{pmatrix} = (-1)^{l'-m'}\begin{pmatrix} l' & 1 & l \\\\ -m' & q & m \end{pmatrix} \left\langle n',l'\middle\| r \middle\| n,l\right\rangle.
Como o símbolo 3j \begin{pmatrix} l' & 1 & l \\\\ -m' & q & m \end{pmatrix} aparece em ambos lados (para os casos em que ele é não-nulo) podemos cancelá-lo, e obtemos:
\left\langle n',l' \middle\| r \middle\| n,l\right\rangle = (-1)^{l'}\sqrt{(2l'+1)(2l+1)} \begin{pmatrix} l' & 1 & l \\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \;\mathcal{R}_{n'l';\,nl}.
Portanto o elemento reduzido fica expresso em termos da integral radial \mathcal{R}_{n'l';\,nl}=\int_0^\infty r^3 R_{n'l'}(r)R_{nl}(r)\,dr.

Passo 7

Resumo final (ligando as duas abordagens) e reforço das regras de seleção em linguagem prática.
  • Relação geral (Wigner–Eckart) para r_q ( q=0,\pm1):
    \boxed{\; \left\langle n',l',m'\right| r_q \left| n,l,m\right\rangle = (-1)^{\,l'-m'}\begin{pmatrix} l' & 1 & l \\\\ -m' & q & m \end{pmatrix} \left\langle n',l'\middle\| r \middle\| n,l\right\rangle \;}
    com
    \boxed{\; \left\langle n',l'\middle\| r \middle\| n,l\right\rangle = (-1)^{l'}\sqrt{(2l'+1)(2l+1)} \begin{pmatrix} l' & 1 & l \\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \int_0^\infty r^3 R_{n'l'}(r) R_{nl}(r)\, dr. \;}
  • Em notação cartesiana pedida no enunciado:
    \boxed{\; \left\langle n',l',m'\right|\mp\frac{1}{\sqrt{2}}(x\pm i y)\left|n,l,m\right\rangle = (-1)^{\,l'-m'}\begin{pmatrix} l' & 1 & l \\\\ -m' & \pm1 & m \end{pmatrix} \left\langle n',l'\middle\| r \middle\| n,l\right\rangle \;}
\boxed{\; \left\langle n',l',m'\right| z \left|n,l,m\right\rangle = (-1)^{\,l'-m'}\begin{pmatrix} l' & 1 & l \\\\ -m' & 0 & m \end{pmatrix} \left\langle n',l'\middle\| r \middle\| n,l\right\rangle \;}
  • Regras de seleção (quando o elemento é não nulo):
    • m' = m + q (ou seja, para z temos m'=m; para x\pm i y temos m'=m\pm1).
    • l' = l\pm1 (triângulo com k=1 e condição de paridade).
    • Em termos práticos: só transições com \Delta l=\pm1 e \Delta m=0,\pm1 aparecem, e o valor numérico depende do integral radial \int_0^\infty r^3 R_{n'l'} R_{nl}\,dr multiplicado pelos símbolos 3j acima.

Resposta

(\displaystyle \left\langle n’,l’,m’\right| \mp\frac{1}{\sqrt{2}}(x\pm i y)\left|n,l,m\right\rangle

(-1)^{,l’-m’} \begin{pmatrix} l' & 1 & l \\\\ -m' & \pm1 & m \end{pmatrix}
\left\langle n’,l’\middle| r \middle| n,l\right\rangle)

(\displaystyle \left\langle n’,l’,m’\right| z \left|n,l,m\right\rangle

(-1)^{,l’-m’} \begin{pmatrix} l' & 1 & l \\\\ -m' & 0 & m \end{pmatrix}
\left\langle n’,l’\middle| r \middle| n,l\right\rangle)

(\displaystyle \left\langle n’,l’\middle| r \middle| n,l\right\rangle

(-1)^{l’}\sqrt{(2l’+1)(2l+1)}
\begin{pmatrix} l' & 1 & l \\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\int_{0}^{\infty} r^{3} R_{n’l’}®R_{nl}®,dr)
(regras de seleção: não nulo somente se m'=m+q com q=0,\pm1 e l'=l\pm1).

Exercícios relacionados